Eski 19-07-22, 23:59 #1
Time Traveler Time Traveler çevrimdışı
Lightbulb Matematikte Limit Nedir?

Evimizden otobüs durağına gitmek istediğimizi düşünelim. Durağa varabilmek için öncelikle ev ile durak arasındaki mesafenin yarısını katetmemiz gerekir. Sonra geriye kalan mesafenin yine yarısını yani tüm mesafenin dörtte birini katetmeliyiz. Bu şekilde sürekli kalan mesafenin yarısını katederek yürürsek otobüs durağına ne zaman ulaşırız?



Belirli bir mesafenin yarısı gidildikten sonra geriye kalan mesafenin sürekli olarak yarısı katedildiğinde bu işlem sonsuza kadar sürer ve otobüs durağına hiçbir zaman varamayız. Çünkü otobüs durağına ulaşmak için kalan yolun uzunluğu ne kadar küçük olursa olsun yarısı hesaplanabilir. Yani kalan mesafe hiçbir zaman 0’a eşit olmaz. Ancak 0’a çok yaklaşır. İşte matematikteki limit kavramıyla da bir fonksiyondaki x değerleri belirli bir sayıya yaklaşırken fonksiyon grafiğinin nasıl davranacağı gözlemlenir.

Matematikte limit kavramından bahsedildiğinde aslında verilen bir fonksiyonun limiti anlaşılır. Örneğin her bir sayıyı, kendisinin çarpımsal tersine götüren bir fonksiyon düşünelim. Bu fonksiyon matematiksel olarak f(x) = 1/x şeklinde ifade edilir ve 2 sayısını 1/2’ye, 5 sayısını da 1/5’e götürür.



f(x)=1/x fonksiyonu x=0’da tanımsızdır. Ancak, bu fonksiyon x=0’da tanımlı olmasa da, x değeri 0’a yaklaştığında fonksiyon grafiğinin nasıl davranacağını, 0’a çok yakın değerleri alarak görebiliriz.




Bunun için öncelikle x değerini 1’e eşit alalım (x=1). Bu değer 0’ın sağında ve 0’dan oldukça uzaktadır. x değeri 1’e eşitken, fonksiyonumuzun değeri 1’dir yani f(1)=1.

Şimdi 0’a biraz daha yaklaşalım ve x değerini 1/2 olarak seçelim. Bu durumda fonksiyonun değeri 2 olur. Bu şekilde sayılarımızı 0’ın sağından ve 0’a giderek yaklaştırdığımızda f(x) fonksiyonunun değerlerinin giderek büyüdüğünü gözlemleyebiliriz.



Fonksiyonun değerlerinin istenildiği kadar büyük yapılması için x değerlerinin 0’ın sağında yani pozitif ve 0’a çok yakın seçilebileceği görülür. Bir başka deyişle, x değerleri 0’a sağdan yaklaşırken f(x) fonksiyonunun değerleri sonsuza gider. Bu durumu limit kavramı ile ifade edecek olursak, x’in aldığı değer 0’a sağdan yaklaşırken f(x) fonksiyonunun aldığı değer sonsuza yaklaşır yani f(x) fonksiyonunun limiti sonsuzdur. Matematiksel olarak da




şeklinde yazabiliriz. Sonsuz (∞) ise reel bir sayı olmadığından x değeri 0’a sağdan yaklaşırken aslında fonksiyonun ulaştığı bir limit değeri yoktur.

Şimdi başka bir durumu daha inceleyelim ve aynı fonksiyonun x değerleri yeterince büyük seçildiğinde limitin nereye yaklaşacağını gözlemleyelim. x değerleri 1, 5, 100 ve 1000 alındığında fonksiyonun değerleri sırasıyla 1, 1/5, 1/100 ve 1/1000 olur. Yani x değerleri büyüdükçe fonksiyonun değerleri giderek küçülür ve x değeri çok büyük alındığında f(x) fonksiyonunun grafiği 0’a yaklaşır. Bu durumun matematiksel olarak ifadesi ise



şeklindedir.

Yukarıda hesapladığımız limitler, x değerleri belirli bir sabit değere yaklaşırken f(x)=1/x fonksiyonunun bir değere yakınsayıp yakınsamadığını gösterir. Bu davranışları f(x)=1/x fonksiyonunun grafiğini inceleyerek de görebiliriz.

İlk örneğimizde x değeri 0’a sağdan yaklaştığında fonksiyonun limitini sonsuz bulduk.

Peki sizce x değerleri 0’a soldan yaklaştığında fonksiyonun limiti ne olur? x değerleri yeterince büyük ve negatif alındığında fonksiyonun değeri nereye yaklaşır?
Yukarıdaki sorulara doğru cevap verdiğiniz takdirde f fonksiyonunun 0’ın solundaki ve eksi sonsuzdaki (- ∞) limitinin ne olduğunu keşfetmiş olursunuz. (İpucu: Grafiğe bakarak bunu kendiniz de çıkarabilirsiniz.).

Ayrıca limit, matematik derslerinin temeli olan türev ve integral kavramlarının tanımlanmasında bizlere yardımcı olan bir terimdir. Türev, bir niceliğin başka bir niceliğe göre değişimidir. Örneğin yolun zamana bağlı değişimi olan hız veya hızın zamana bağlı değişimi olan ivme türev kavramı ile tanımlanır. Türev uygulamalarına farklı alanlardan da örnekler verilebilir: ekonomi ve ticaret alanlarında kullanılan maksimum kâr ve minimum maliyet hesapları gibi. Genellikle türevin tersi olarak bilinen integral kavramı ise belirli bir aralıktaki toplam değişimi belirtir. Ayrıca integral pozitif eğriler için eğrinin altında kalan alanın hesaplamasında kullanılır.

Kaynak
  Alıntı Yaparak CevaplaAlıntı Yaparak Cevapla
Eski 20-07-22, 13:22 #2
Thatcher Thatcher çevrimdışı
Varsayılan C: Matematikte Limit Nedir?

Konunun bir kopyasını Lise Bilgileri > Matematik bölümüne yapasım geldi @Time Traveler;

Kulağa mantıklı geliyor mesafenin yarısının yarısı olayı
  Alıntı Yaparak CevaplaAlıntı Yaparak Cevapla
Eski 20-07-22, 13:48 #3
miyauv miyauv çevrimdışı
Varsayılan C: Matematikte Limit Nedir?

Sonuçta: Zaman sonsuz olunca mı Otobüs Durağına ulaşıcaz ??? Ömür mü yeter buna yaw ???
  Alıntı Yaparak CevaplaAlıntı Yaparak Cevapla
Eski 20-07-22, 14:27 #4
Thatcher Thatcher çevrimdışı
Varsayılan C: Matematikte Limit Nedir?

Alıntı:
Gerçek Mesajı Gönderen miyauv Mesajı Göster
Sonuçta: Zaman sonsuz olunca mı Otobüs Durağına ulaşıcaz ??? Ömür mü yeter buna yaw ???
Sonsuzluğun en azından bilimsel izahının olduğunu bilmek yeterli
  Alıntı Yaparak CevaplaAlıntı Yaparak Cevapla
Eski 03-08-22, 12:53 #5
BuSonVedaPax BuSonVedaPax çevrimdışı
Varsayılan C: Matematikte Limit Nedir?

Alıntı:
Gerçek Mesajı Gönderen miyauv Mesajı Göster
Sonuçta: Zaman sonsuz olunca mı Otobüs Durağına ulaşıcaz ??? Ömür mü yeter buna yaw ???
Küp sorusunu yanlış cevaplamışın limit senin limitlerini aşar
  Alıntı Yaparak CevaplaAlıntı Yaparak Cevapla
Eski 07-08-22, 20:37 #6
Coolumsu Coolumsu çevrimdışı
Varsayılan C: Matematikte Limit Nedir?

Zenon’un bir zaman ve ok pradoksu vardır. İşte onları çözen konu bu limittir.
  Alıntı Yaparak CevaplaAlıntı Yaparak Cevapla
Cevapla

Bu konunun kısa yolunu aşağıdaki sitelere ekleyebilirsiniz

Konu Araçları

Gönderme Kuralları
Yeni konu açamazsınız
Cevap yazamazsınız
Dosya gönderemezsiniz
Mesajlarınızı düzenleyemezsiniz

BB code is Açık
Smiley Açık
[IMG] kodu Açık
HTML kodu Kapalı



Tüm saatler GMT +3. Şuan saat: 19:28
(Türkiye için artık GMT +3 seçilmelidir.)

 
5651 sayılı yasaya göre forumumuzdaki mesajlardan doğabilecek her türlü sorumluluk yazan kullanıcılara aittir. Şikayet Mailimiz. İçerik, Yer Sağlayıcı Bilgilerimiz. Tatil