Sayıların ya da başka şeylerin yerine harflerin kullanılması, matematik kurallarını tanımla¬yabilmek için iyi bir yoldur. Cebir öğrenmeye başlayanlar bunu bilirler (bak. CEBİR). Örne¬ğin, tam kare sayıların hangi sayıların karesi olduğunu
1 U 1 2^ 4 3U 9 4^ 16
biçiminde gösterirsek, "kare alma"nın kuralını biçiminde yazabiliriz; burada x herhangi bir sayıyı gösterir. Verilmiş sayılarla ne yapılacağını gösteren kurala fonksiyon denir. Fonksiyon konusu, matematiğin analiz denen dalını oluşturur (bak. FONKSİYON).

Fonksiyonları göstermenin bir yolu, Descartes'ın yukarıda ele aldığımız grafik yöntemini kullanmaktır. Fonksiyonun kapsadığı her sayı çiftini bir nokta olarak gösterebiliriz. Örneğin, "kare alma" fonksiyonu için, 1 -* 1, 2 —» 4, 3 —> 9 olduğundan, bunları sayı çiftleri halinde
(1,1), (2,4), (3,9),...
biçiminde yazabilir ve bu sayıların grafiğini çizebiliriz:

/

0 ^> 0 (sıfırın karesi sıfır) olduğuna göre, (0,0) sayı çifti de bizim aradığımız bir başka nokta¬yı belirler. Tamsayılar arasında kalan kesirli sayıların da karelerini alabiliriz:
(V2f=V4
(l1/2)2=21/4 (2'/2)2=61/4
Daha çok noktayı işaretlediğimizde grafikte, bir eğri belirmeye başlar.
Kare alma fonksiyonumuzu tersine çevirebilir ve böylece bir karekök alma fonksiyonu elde edebiliriz:
x —* \rx~.
Bir hesap makinesi yardımıyla sayıların kare-kökleri ilk ondalık basamaklarına kadar bulu¬nabilir. Böylece elde edeceğimiz sayı çiftlerini, şekil A'da görüldüğü gibi bir grafik üzerinde gösterebiliriz:

1 -> 1

Bu gösterime bakıldığında, doğal sayı kadar çift sayı olduğu düşünülebilir. Oysa
1, 2, 3, 4, 5, 6,...
dizisinden de görülebileceği gibi, her iki doğal sayıdan yalnızca biri çift sayıdır. Bu durumda da doğal sayıların yarısı kadar çift sayı varmış gibi gözükmektedir! Bu ilginç çelişkinin sırrı, sonsuz sayıda doğal sayının olması, yani doğal sayıların sonsuza kadar sıralanıp gitmesidir. Sonsuzluk kavramı üzerinde duran ilk matematikçi Alman Georg Cantor'du (1845-1918).

Sonsuzluk kavramı eski bir kurbağa bilmecesine dayanır. Dairesel bir havuzun tam ortasında bulunan bir kurbağa havuzun kenarına ulaşmak niyetindedir; ama bunun için bir koşulumuz vardır: Kurbağa ilk sıçrayışında, havuzun merkezi ile kenarı arasındaki uzaklığın yarısı, ikinci sıçrayışında aynı uzaklığın dörtte biri, üçüncüsünde sekizde biri kadar yol alacak, yani her sıçrayış bir öncekinin yarısı kadar olacaktır. Eğer havuzun yarıçapı bir metreyse, kurbağanın sıçraya sıçraya giderken almış olduğu yolu, yani ulaşabileceği herhangi bir noktanın havuzun merkezine olan uzaklığını bulmak için, her sıçrayışın uzunlu¬ğunu metrenin kesirleri olarak tek tek yazıp toplayalım:
l^ + 1/4 + 1/8 + 1/l6-|-1/32...
Kurbağa havuzun kenarına ulaşabilecek midir?
Kurbağanın her sıçrayışta hangi uzaklığa ulaşacağını tek tek hesaplarsak, ortaya şöyle bir sonuç çıkar:
l/2=l/2 1/2+'/4 = -y4 1/2+1/4+I/8 = % 1/2+1/4+1/8+'/l6=1-yi6
vb.
Kurbağanın her sıçrayıştan sonra daha ne kadar yolu kaldığına bakarsak, şu sonucu bu¬luruz:
'/2, '/4, V8, Vl6, '/32,...
Kurbağanın her sıçrayışında, gideceği yol yarıya inmektedir. Ama ne kadar sıçrarsa sıçrasın, geriye hep alması gereken bir yol kalmakta, yani her seferinde havuzun kenarına biraz daha yaklaşmakta, ama bir türlü ulaşamamaktadır! Bu, 2'nin karekökünü ya da zr'nin değerini ondalık sayı halinde tam olarak yazamamaya, yalnızca yaklaşık bir değer elde et¬meye benzeyen bir durumdur. Matematiğin analiz denen dalı sonsuzluk kavramıyla da il¬gilenir; analizin integral yöntemiyle bu kavrama nasıl ulaşıldığı DİFERANSİYEL VE İNTEGRAL HESAP maddesinde açıklanmıştır.

Sonsuzluk kavramı geometride de karşımıza çıkar. Bir düzgün beşgeni ele alalım:

Eğer bu beşgenin bütün köşegenlerini çizersek, ortasında yeni bir beşgen oluşur. Bu küçük beşgenin de köşegenlerini çizdiğimizde, bu kez ortada daha da küçük bir beşgen ortaya çıkar.
Bunu, kuramsal olarak dilediğimiz kadar yineleyebilir, gittikçe daha küçük beşgenler elde ederek sonsuza kadar sürdürebiliriz.