Binom Açılımı ve Pascal Üçgeni’nin Öğrenciye Geleneksel Tanıtımı
n b a ) ( + biçiminde ifade edilen binom açılımı ile R b a ∈ , , N n ∈ olmak üzere iki terimli ifadelerin
pozitif tamsayı olan kuvvetlerinin açılımı bulunur. Binom açılımının çarpanlara ayırma, alt küme
sayılarını bulma ve olasılık hesaplarında geniş kullanım alanları vardır ve bundan dolayı cebir
öğretiminde de önemlidir(Altun, 2002, s.162).
n b a ) ( + ifadesinin eşitinin bulunmasında, ) ( b a + nin kendisi ile n defa çarpılacağı aşikardır. Bu
durumu n=2, n=3, n=4 için örnek olarak vermek ve genelleme yapmak yerinde olacaktır.
Sunuş: b a b a + = + 1 ) ( dir. 2 ) ( b a + yi bulmak için ) ( b a + ile ) ( b a + çarpılır. 3 ) ( b a + ’ü
bulmak için ) ( b a + ile ) ( b a + ile ) ( b a + çarpılır ya da 2 ) ( b a + nin sonucuyla ) ( b a + çarpılır.
4 ) ( b a + ’ü bulmak için ) ( b a + kendisiyle dört kere çarpılır ya da 3 ) ( b a + ’ün sonucuyla ) ( b a +
çarpılır.
Yukarıda yazılanlar bir tabloda gösterilirse (III):
2 ) ( b a + = 3 ) ( b a + = 4 ) ( b a + =
a + b
a + b
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
b a a + 2
2 b b a +
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2 2 2 b b a a + +
2 2 2 b b a a + +
a + b
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2 2 3 2 b a b a a + +
3 2 2 2 b b a b a + +
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
3 2 2 3 3 3 b b a b a a + + +
3 2 2 3 3 3 b b a b a a + + +
a + b
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
3 2 2 3 4 3 3 b a b a b a a + + +
4 3 2 2 3 3 3 b b a b a b a + + +
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
4 3 2 2 3 4 4 6 4 b b a b a b a a + + + +
Buradan elde edilen sonuçlar:
1 ) ( 0 = + b a
b a b a ⋅ + ⋅ = + 1 1 ) ( 1
2 2 2 1 2 1 ) ( b b a a b a ⋅ + + ⋅ = +
3 2 2 3 3 1 3 3 1 ) ( b b a b a a b a ⋅ + + + ⋅ = + (*)
4 3 2 2 3 4 4 1 4 6 4 1 ) ( b b a b a b a a b a ⋅ + + + + ⋅ = +
5 4 3 2 2 3 4 5 5 1 5 10 10 5 1 ) ( b b a b a b a b a a b a ⋅ + + + + + ⋅ = +
İlköğretim-Online 62
Öğrenciye söylenecekler: Görüldüğü gibi bu işlemler pek de zor değildir. Ancak, devam edildiğinde
her gerektiğinde n (n=1,2,...,n) için böyle bir işlemi yapmak zahmetlidir. Eğer tüm bu işlemler yerine,
bir kural olsa n b a ) ( + eşitliğini hesaplama işi daha kolay olacaktır. İşte bu, ‘Binom Açılımı’ adı
verilen kural ile olacaktır.
Amaçlananın ne olduğu bu biçimde ifade edildikten sonra, n b a ) ( + nin açılımındaki her bir terimin
(a,b, ab) başındaki katsayılar ile pascal üçgeni arasındaki ilişkiyi ve pascal üçgeni hakkında bazı
önemli bilgileri vermek yerinde olacaktır.
n b a ) ( + açılımlarında karşılaşılan katsayılar yazılırsa:
n=0 için 1
n=1 için 1 1
n=2 için 1 2 1
n=3 için 1 3 3 1
n=4 için 1 4 6 4 1
n=5 için 1 5 10 10 5 1
Gerçi bu katsayıların oluşturduğu üçgen Ömer Hayyam’ın (1100) orijinal çalışmalarında yer almakta
ise de, adını Fransız matematikçi Blaise Pascal ’dan (1623-1662) alan pascal üçgeninin (*)’daki
katsayılardan oluştuğu görülecektir. Kenarlarda ‘1’ olmak üzere her sayının üstündeki iki sayının
toplamı olarak yazılmakla oluştuğu pascal üçgeni, bu eşkenar formdan farklı olarak (*)’dan da
görülebileceği gibi dik üçgen formunda da gösterilmektedir. Bu üçgenin bazı özellikleri verilecek
olursa: İkinci sıra (koyu renkli), doğal sayılar serisi; üçüncü sıra (italik rakamlı), üçgen sayılar
(1,3,6,10,15,...) dan oluşmakta; her satırdaki sayıların toplamı, ‘sıfır’ dan başlamak üzere ‘2’ nin
üslerini vermektedir, 20, 21,22,23,24,... . Her sıranın, yine ‘sıfır’ dan başlamak üzere kendi derecesinden
bir polinomun katsayılarını vereceği ifadesiyle pascal üçgeninin binom açılımıyla ilişkisi netleşecektir
(Örnek: 3 2 2 3 3 1 3 3 1 ) ( b b a b a a b a ⋅ + + + ⋅ = + ) (Büyükkeçeci, IV).
Ancak geleneksel yoldan sunulan bu ifade ve kavramlar, çoğu zaman öğrenci için sade bir ezbermiş
gibi olmaktan öteye gidememektedir. Cebir öğretiminde önemli bir yeri ve pek çok uygulama alanı
olan binom açılımı öğretilirken, iki terimli arasında ilişki kurulduğunda öğrenci bir olaya bakış açısı
kazanacak ve zihninde canlandırarak ya da verilecek örnek olayı bir oyun (ya da senaryo) gibi
algılayarak soyuttan somuta düşünmeye geçebilecektir.
İlk olarak hikaye tanıtılır ve hikayenin hedefinin ne olduğu verilmekle işe başlanabilir.
Hikayenin Kurgusu: Bir at ve bir boğa birlikte yürümektedir. Yürüyüşün başlangıcında atın sırtında n
tane çuval var, bir süre (sürenin hiçbir önemi yok) taşıdıktan sonra yorulmakta ve bunu boğayla
paylaşmakta; bu paylaşım her defasında atın boğaya bir tane çuval vermesiyle gerçeklenmektedir. Bu
rutin olayda, atın sırtından bir çuval azalırken, boğanın sırtında bir çuval artmaktadır. En sonunda atın
sırtındaki bütün çuvallar, boğanın sırtında olmaktadır. Yolun sonuna ulaştıklarında (hedefe) toplam
kaç adım atmış oldukları bulunacaktır.
Hikayenin Verilişinin Birinci Aşaması: Bu hikaye n n n n = = = ,..., 2 , 1 için at ve boğanın sırtındaki
çuvalların durumu gözönüne alınarak kavratılmalı. Bu aşamada öğrenciye 1 = n den başlayarak
örnekler vermek yerinde olacaktır; kavradığı anlaşılana kadar yük sayılarını artırmak olanaklıdır.
Sunuş: Her yürümeye başladıklarında at (a), çuvalların tamamını yüklenmiş olarak işe başlamakta,
boğa (b) da yanında yürümeye başlamakta, ama hiç yükü olmadığı için görünmemektedir (b0=1 olarak
görünüyor). Yürüyüşün son aşamasında da atın sırtında hiç yük yok (a0=1). Şimdi, örnek verilirse:
Atın sırtında 1 tane çuval olsun ( 1 = n ): a, bir süre yürüyor ve çok yorulup çuvalı boğaya veriyor:b.
İlköğretim-Online 63
Atın sırtında 2 tane çuval olsun ( 2 = n ): 2 a , bir süre yürüdükten sonra yoruldu ve 1 çuvalı bağaya
verdi: ab, yürümeye devam ettiler ve at yorulup kalan çuvalı boğaya verdi: b2.
Atın sı_yü______krtında 3 tane çuval olsun ( 3 = n ): a3, yoruldu birisini boğaya verdi: a2b, bir süre yürüdükten
sonra at yine yorulup çuvalın 1 tanesini daha boğaya verdi: ab2, yürüyüşün sonuna geldiklerinde at çok
yoruldu ve son kalan çuvalı da boğaya verdi: b3.
...
Böylece devam edilirse,
Atın sırtında n tane çuval olsun ( n n = ): n a , yoruldu birisini boğaya verdi: b an 1 − , bir süre
yürüdükten sonra at yine yorulup boğaya 1 çuval daha verdi: 2 2b an− ,..., yürüdükleri yol boyunca atın
sırtında 1 tane çuval, boğanın sırtında ise atın verdiği çuvallardan 1 = n tane oldu: 1 − n ab ve sonunda
tüm yükü boğa aldı: n b .
Bu örnek olayı verirken, atın verdiği ve boğanın aldığı yüklerin toplamının aynı sayıyı koruduğu
vurgulanmalıdır: At sırtındaki n tane çuvalı boğaya vermekte, ama bu yük sayısının toplamı hiçbir
zaman değişmemektedir (üsler toplamı) ve at tüm çuvalları boğaya verdiğinde boğadaki çuval sayısı
yine son aşamada n yi korumaktadır.
Henüz bir toplam verilmeden (‘toplam attıkları adım sayısı nedir?’ sorusuna cevap vermeden) sadece
at ve boğanın gözönüne alınan bu durumları, sırası takip edilerek yazılırsa:
1 = n tane yük var: a b
2 = n tane yük var: a2 ab b2
3 = n tane yük var: a3 a2b ab2 b3
4 = n tane yük var: a4 a3b a2b2 ab3 b4
...
n n = tane yük var: an an-1b an-2b2 ... abn-1 bn
Bu aşamadan sonra, artık şu soruyu sormak yerinde olur: At ve boğa, atın sırtındaki bütün çuvallar (n
tane, n=1,2,...,n) boğanın sırtında olup yolun sonuna geldiklerinde toplam kaç adım atmış olacaklardır?
Yalnız burada, dikkati çekmek gerekir ki toplama işlemini oluşturan terimlerin sayısı kadar adım
atmamakta; attıkları toplam adım sayısı, sırttaki yükle değişim sayısını vermektedir.
Hikayenin Verilişinin İkinci Aşaması: At ve boğa çuvalları değişerek yürürken adım atmaktalar. Her
yük değişiminden sonra adım sayıları, atın sırtından azalan yüke ve değişimin olduğu zamana kadar
atılan adıma bağlı olarak bu değişimin başına yazılmaktadır. Atın sırtındaki bütün çuvallar boğanın
sırtında olunca yolun sonuna varmış olmaktadırlar. Hedefe vardıklarında toplam adım sayısı, her
değişimde öne yazılan adım sayıları toplanarak bulunur.
Sunuş:
ÖRNEK 1. At ve boğa adım atarak birlikte yürümeye başlıyorlar. At, sırtına 2 çuval yük alıyor (Her
başlangıç için boğanın da yanında olduğu, ancak hiç yükü olmadığı için 1 0 = b olarak alındığı
kabuldür). Bir süre yürüdükten sonra at yoruluyor ve sırtındaki 1 çuvalı boğaya veriyor. Şu ana kadar
acaba kaç adım attılar? Her defasında ilk olarak atın çuvalların hepsini sırtına alması 1 adım atması
olacaktır ve bu ilk durumun ifadesi: 1.a2. Şimdi atın 1 çuvalı boğaya verdiği haldeki duruma bakılırsa
(bu durum, sorular ve verilen cevaplardan oluşmaktadır); atın sırtında kaç yük vardı?:2, kaç adım
atmıştı?: 1, 2.1=2. At şimdiye kadar kaç defa yük değiştirdi?: 1 ve 2:1=2 olup, bir sonraki değişimin
başına yazılırsa 2ab bulunur. Yürümeye devam ediyorlar ve at çok yorulup kalan çuvalı da boğaya
veriyor ve artık tüm çuvallar boğada. Acaba bu aşamada kaç adım atıldı? Önce, baştan bu son duruma
gelene kadar ki durumlar dikkate alınırsa, a2, 2ab bulunduğu görülür. Bu durumda toplam 2 değişim
olmuştur. O halde son aşamadaki atılan adım sayısını bulmak için izlenecek sorular: Atın sırtında kaç
çuval kalmıştı?:1, bundan önceki yük değişiminde (ab) kaç adım atmışlardı?: 2, 2.1=2. At çuvalların
hepsini bıraktığında kaç değişim oldu?: 2, 2:2=1. O halde, sondaki adım sayısı:1 olup, b2 olacak (Atın
sırtında hiç çuval kalmadığından yazılmaz, a0).
İlköğretim-Online 64
(1) 2 A    → 
Degisim . 1
(2) 3 2 1
2 1 2
2 1 2
1 1
= ÷
= ×
B A    → 
Degisim . 2
(1) 3 2 1
1 2 2
2 1 2
2
= ÷
= ×
B
Toplam adım sayısı yazılırsa: 1+2+1=4, 4=22.