Rasyonel Sayılarda Aritmetik İşlemler - Matematik [ BEŞİKTAŞ TİM ]

мєqα νιѕιση · 27-01-07, 14:31

RASYONEL SAYILARLA ARİTMETİKSEL İŞLEMLER

KESİR

a ve b birer tamsayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere, a/b şeklindeki ifadelere kesir adı verilir. Burada a' ya kesrin payı, b' ye de kesrin paydası denir. Bir başka deyişle, kesir bir bütünün eşit parçalarından birini ve birkaçını gösteren sayıdır. Kesrin paydası, bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü belirtirken, kesrin payı da bu eşit parçalardan kaç tane alındığını gösterir. Örneğin, 2/5 kesri, bir bütünün 5 eşit parçaya bölündüğünü ve bu parçalardan 2 parçanın alındığını ifade eder.

DENK KESİRLER

a, b, c, d birer tamsayı ve b ile d sıfırdan farklı olmak üzere, a/b ile c/d birer kesir ve a.d = b.c ise, a/b ile c/d kesirlerine denk kesirler denir. Örneğin, 3/5 kesrine denk olan kesirler şöyle yazılabilir:

3/5, 6/10, 9/15, 12/20, 15/25, ... , 3m/5m, ...

Burada, m sıfırdan farklı bir tamsayıdır. Bir kesrin pay ve paydası, sıfırdan farklı bir tamsayı ile çarpılır veya bölünürse, kesrin değeri değişmez. Bir kesrin payı ve paydası, aynı sayı ile çarpılırsa, buna kesrin genişletilmesi denir. Bir kesrin genişletilmesine şöyle örnek verebiliriz:
Şayet bir kesrin pay ve paydası, aynı sayı ile bölünürse, buna da kesrin sadeleştirilmesi denir. Bir kesrin sadeleştirilmesine de şöyle örnek verebiliriz:

BAYAĞI KESİR

a ve b birer doğal sayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere, a/b şeklindeki ifadelere, bayağı kesir denir. Bayağı kesirler üçe ayrılır:
1. Basit Kesirler:
Payı, paydasından küçük olan bayağı kesirlerdir. Örneğin,

2/3, 3/5, 4/7, 1/2, 9/10, 1/3, 2/7, 10/15, ...

şeklindeki bayağı kesirlerin tümü, basit kesirdir. Bununla birlikte, payı 1 olan basit kesirlere, birim kesirler denir. Burada, 1/2 ile 1/3 basit kesirlerinin payları 1 olduğu için, birim kesirlerdir.
2. Bileşik Kesirler:
Payı, paydasına eşit veya paydasından büyük olan bayağı kesirlerdir. Örneğin,

3/2, 5/3, 7/4, 2, 10/9, 3, 7/2, 15/10, 12/12, ...

şeklindeki bayağı kesirlerin tümü, bileşik kesirdir. Çünkü, bu kesirlerin tümünün payı, paydasından büyüktür.
3. Tamsayılı Kesirler:
a, b, c birer doğal sayı ve b < c ve a sıfırdan farklı olmak üzere,
şeklinde gösterilen kesirlerdir. Yani, tamsayılı kesirler, sıfırdan farklı bir doğal sayı ve basit kesir ile birlikte yazılan kesirlerdir. Örneğin,
kesri, tamsayılı bir kesirdir. Buradan, bir tamsayılı kesrin, bileşik kesir şeklinde yazılabileceğini görürüz. Aynı şekilde, bir bileşik kesrin de tamsayılı kesir şeklinde yazılabileceğini söyleyebiliriz. Bileşik bir kesri, tamsayılı bir kesre şöyle çevirebiliriz: Kesrin payı, paydasına bölünür, bölüm tam kısmını, kalan pay kısmını oluşturur ve payda aynen alınır. Örneğin, 11/5 bileşik kesrini gözönüne alalım. 11, 5' e bölünürse, bölüm 2 ve kalan 1 olduğundan,
şeklinde yazabiliriz.
Not: Kesirler, eksili (negatif) de olabilirler.
Örnek:
kesrinin basit bir kesir olabilmesi için, x kaç tane değer alır?
Çözüm:
Bir kesrin basit bir kesir olabilmesi için, payının paydasından küçük olması gerekir. Dolayısıyla, 2x - 3 < 12 olması gerekir. x' i yalnız bırakabilmek için, 3 sayısını eşitsizliğin sağ tarafına atarsak,

2x < 12 + 3

2x < 15

x < 15/2

bulunur. x doğal sayı olduğuna göre, 15/2' den küçük doğal sayılar,

x = {0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7}

dir. Bu nedenle, x, bu 8 tane değeri alırsa, kesir basit kesir olur.

RASYONEL SAYILAR

a ve b birer tamsayı, b sıfırdan farklı ve a ile b aralarında asal ise, a/b şeklinde yazılabilen sayılara, Rasyonel Sayı denir. Yani, denk kesirlerin belirttiği sayıdır. Rasyonel sayıların oluşturduğu topluluğa, Rasyonel Sayılar Kümesi denir ve Q ile gösterilir. Buradan, Rasyonel Sayılar Kümesini,

Q = {x: x=a/b; a, b Є Z ve b ≠ 0; a ile b aralarında asal }

şeklinde gösterebiliriz. Örneğin,

1/5, 2/3, 4, 8/5, -1/2, -6/5, 0, ...

sayıları, birer rasyonel sayıdır.

Bazı Özellikler:

· Her doğal sayı, bir tamsayıdır.
· Her tamsayı, bir rasyonel sayıdır. Çünkü, tamsayıların paydası vardır ve 1' dir.
· a/b = c/b ise, a=c dir.
· a/b=c/d ise, a.d=b.c dir.
· a ile b ve c ile d aralarında asal ve a/b=c/d ise, a=c ve b=d dir.

RASYONEL SAYILARLA İŞLEMLER

1. TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ:

Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için, paydaların eşit olması gerekir. Şayet, paydalar eşit değilse, paydalar eşitlenir. Ortak payda, payda olarak alınırken, toplama işleminde payların toplamı paya, çıkarma işleminde payların farkı paya yazılır. Bu kuralı, aşağıdaki şekillerde gösterebiliriz:
Özellik: a/b sayısının toplama işlemine göre tersi, -a/b dir, yani ters işaretlisidir.

Örnekler:

2. ÇARPMA İŞLEMİ

Rasyonel iki sayının çarpımı, payların çarpımı paya, paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır. Yani,
şeklinde yapılmalıdır. İşaret kuralı, tamsayılardaki gibidir. a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi, b/a dır. a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi,

(a/b)-1 = b/a

şeklinde gösterilir.

Örnekler:

3. BÖLME İŞLEMİ

Rasyonel iki sayının bölümü, ilk sayı aynen yazılır, ikinci sayı ters çevrilip çarpılır. Yani, ilk sayı, ikinci sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır. Bölme işleminin genel kuralı,
şeklindedir. Burada b, c ve d' nin sıfırdan farklı olması gerekir. Çünkü, sıfıra bölme tanımsızdır. Diğer taraftan, sıfırın sıfırdan farklı bir sayıya bölümü, sıfırdır. İşaret kuralı, çarpma işlemindeki gibidir.

Örnekler:

Karışık Örnekler:

Örnek 1:
olduğuna göre,
toplamının a cinsinden değeri nedir?
Çözüm:
Bu iki ifadeyi taraf tarafa toplarsak,
olur. Yani, a+b=12 bulunur. Buradan, b=12-a çıkar.
Örnek 2:
sayısı,
sayısının kaç katıdır?
Çözüm:
Bir sayının bir başka sayının kaç katı olduğunu bulmak için, bölme işlemi yapılmalıdır. Bu takdirde,
Örnek 3:
olduğuna göre, a kaçtır?
Çözüm:
Eşitliğin sol tarafı sonsuza dek gittiğinden,
yazabiliriz. Buradan, a/10 = 10-5, a/10 = 5, a= 10.5, a=50 bulunur.
Örnek 4:
Çözüm:
yazılabilir. Buradan,

4x + 5 = x2

x2-4x -5 = 0

Çarpımları -5, toplamları -4 olan iki sayı, -5 ile +1 olduğundan,

(x-5).(x+1) = 0

yazabiliriz. Böylece,

x=5 ile x=-1 bulunur. Pozitif değerlerin toplamı negatif olamayacağından, x = 5 olmalıdır.
Not: 5, 4' ün 1 fazlası olduğundan, sonuç 5 çıkmıştır. 4' ün yerinde 8 ve 5' in yerinde 9 bulunsaydı, sonuç 9 olacaktı. 4' ün yerine a ve 5' in yerine de b koyarsak, şayet b, a' nın 1 fazlası (b=a+1) ise, bu işlemin sonucu, b olur.
Örnek 5:
işleminin sonucu, yaklaşık olarak aşağıdakilerden hangisi olabilir?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Çözüm:
Verilen işlem, sonsuzlu işlem olduğundan, 3' ün paydasına x dersek, işlemin tamamı da x olur. Dolayısıyla,
yazabiliriz. Buradan, 4x -3 = x2, x2 -4x +3 = 0 olur. Bu denklem de, (x-3)(x-1)=0 şeklinde yazılabileceğinden, x=3 ile x=1 bulunur. Dolayısıyla, doğru seçenek (b) şıkkıdır.
Not:
işleminde, (a/2)2 = b ise, bu işlemin sonucu a/2 dir.
Örnek 6:
Çözüm: (8/2)2 = 42 = 16 olduğundan, işlemin sonucu a/2= 8/2 = 4 tür.

Darkness · 06-02-07, 23:53

Emeğine sağlık..

(Paylaşımcıya Destek Timi)

osi · 08-02-07, 16:58

teşekkürler

engin272 · 08-02-07, 17:10

teşekkürler matematikle aram iyi olmasadaa sağol +rep (paylaşımcıya destek timi )

emodepH · 08-02-07, 20:07

Eline emeğine sağlık..

Teşekkürler..

27-01-07, 14:31	#1 (permalink)
мєqα νιѕιση Resimler & Hayaller ... Giriş Tarihi: 15-05-2005 Yaş: 21 Mesajlar: 8,790 Rep Puanı: 19793616 Rep Gücü: 198062	Rasyonel Sayılarda Aritmetik İşlemler - Matematik [ BEŞİKTAŞ TİM ] RASYONEL SAYILARLA ARİTMETİKSEL İŞLEMLER KESİR a ve b birer tamsayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere, a/b şeklindeki ifadelere kesir adı verilir. Burada a' ya kesrin payı, b' ye de kesrin paydası denir. Bir başka deyişle, kesir bir bütünün eşit parçalarından birini ve birkaçını gösteren sayıdır. Kesrin paydası, bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü belirtirken, kesrin payı da bu eşit parçalardan kaç tane alındığını gösterir. Örneğin, 2/5 kesri, bir bütünün 5 eşit parçaya bölündüğünü ve bu parçalardan 2 parçanın alındığını ifade eder. DENK KESİRLER a, b, c, d birer tamsayı ve b ile d sıfırdan farklı olmak üzere, a/b ile c/d birer kesir ve a.d = b.c ise, a/b ile c/d kesirlerine denk kesirler denir. Örneğin, 3/5 kesrine denk olan kesirler şöyle yazılabilir: 3/5, 6/10, 9/15, 12/20, 15/25, ... , 3m/5m, ... Burada, m sıfırdan farklı bir tamsayıdır. Bir kesrin pay ve paydası, sıfırdan farklı bir tamsayı ile çarpılır veya bölünürse, kesrin değeri değişmez. Bir kesrin payı ve paydası, aynı sayı ile çarpılırsa, buna kesrin genişletilmesi denir. Bir kesrin genişletilmesine şöyle örnek verebiliriz: Şayet bir kesrin pay ve paydası, aynı sayı ile bölünürse, buna da kesrin sadeleştirilmesi denir. Bir kesrin sadeleştirilmesine de şöyle örnek verebiliriz: BAYAĞI KESİR a ve b birer doğal sayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere, a/b şeklindeki ifadelere, bayağı kesir denir. Bayağı kesirler üçe ayrılır: 1. Basit Kesirler: Payı, paydasından küçük olan bayağı kesirlerdir. Örneğin, 2/3, 3/5, 4/7, 1/2, 9/10, 1/3, 2/7, 10/15, ... şeklindeki bayağı kesirlerin tümü, basit kesirdir. Bununla birlikte, payı 1 olan basit kesirlere, birim kesirler denir. Burada, 1/2 ile 1/3 basit kesirlerinin payları 1 olduğu için, birim kesirlerdir. 2. Bileşik Kesirler: Payı, paydasına eşit veya paydasından büyük olan bayağı kesirlerdir. Örneğin, 3/2, 5/3, 7/4, 2, 10/9, 3, 7/2, 15/10, 12/12, ... şeklindeki bayağı kesirlerin tümü, bileşik kesirdir. Çünkü, bu kesirlerin tümünün payı, paydasından büyüktür. 3. Tamsayılı Kesirler: a, b, c birer doğal sayı ve b < c ve a sıfırdan farklı olmak üzere, şeklinde gösterilen kesirlerdir. Yani, tamsayılı kesirler, sıfırdan farklı bir doğal sayı ve basit kesir ile birlikte yazılan kesirlerdir. Örneğin, kesri, tamsayılı bir kesirdir. Buradan, bir tamsayılı kesrin, bileşik kesir şeklinde yazılabileceğini görürüz. Aynı şekilde, bir bileşik kesrin de tamsayılı kesir şeklinde yazılabileceğini söyleyebiliriz. Bileşik bir kesri, tamsayılı bir kesre şöyle çevirebiliriz: Kesrin payı, paydasına bölünür, bölüm tam kısmını, kalan pay kısmını oluşturur ve payda aynen alınır. Örneğin, 11/5 bileşik kesrini gözönüne alalım. 11, 5' e bölünürse, bölüm 2 ve kalan 1 olduğundan, şeklinde yazabiliriz. Not: Kesirler, eksili (negatif) de olabilirler. Örnek: kesrinin basit bir kesir olabilmesi için, x kaç tane değer alır? Çözüm: Bir kesrin basit bir kesir olabilmesi için, payının paydasından küçük olması gerekir. Dolayısıyla, 2x - 3 < 12 olması gerekir. x' i yalnız bırakabilmek için, 3 sayısını eşitsizliğin sağ tarafına atarsak, 2x < 12 + 3 2x < 15 x < 15/2 bulunur. x doğal sayı olduğuna göre, 15/2' den küçük doğal sayılar, x = {0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7} dir. Bu nedenle, x, bu 8 tane değeri alırsa, kesir basit kesir olur. RASYONEL SAYILAR a ve b birer tamsayı, b sıfırdan farklı ve a ile b aralarında asal ise, a/b şeklinde yazılabilen sayılara, Rasyonel Sayı denir. Yani, denk kesirlerin belirttiği sayıdır. Rasyonel sayıların oluşturduğu topluluğa, Rasyonel Sayılar Kümesi denir ve Q ile gösterilir. Buradan, Rasyonel Sayılar Kümesini, Q = {x: x=a/b; a, b Є Z ve b ≠ 0; a ile b aralarında asal } şeklinde gösterebiliriz. Örneğin, 1/5, 2/3, 4, 8/5, -1/2, -6/5, 0, ... sayıları, birer rasyonel sayıdır. Bazı Özellikler: · Her doğal sayı, bir tamsayıdır. · Her tamsayı, bir rasyonel sayıdır. Çünkü, tamsayıların paydası vardır ve 1' dir. · a/b = c/b ise, a=c dir. · a/b=c/d ise, a.d=b.c dir. · a ile b ve c ile d aralarında asal ve a/b=c/d ise, a=c ve b=d dir. RASYONEL SAYILARLA İŞLEMLER 1. TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ: Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için, paydaların eşit olması gerekir. Şayet, paydalar eşit değilse, paydalar eşitlenir. Ortak payda, payda olarak alınırken, toplama işleminde payların toplamı paya, çıkarma işleminde payların farkı paya yazılır. Bu kuralı, aşağıdaki şekillerde gösterebiliriz: Özellik: a/b sayısının toplama işlemine göre tersi, -a/b dir, yani ters işaretlisidir. Örnekler: 2. ÇARPMA İŞLEMİ Rasyonel iki sayının çarpımı, payların çarpımı paya, paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır. Yani, şeklinde yapılmalıdır. İşaret kuralı, tamsayılardaki gibidir. a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi, b/a dır. a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi, (a/b)-1 = b/a şeklinde gösterilir. Örnekler: 3. BÖLME İŞLEMİ Rasyonel iki sayının bölümü, ilk sayı aynen yazılır, ikinci sayı ters çevrilip çarpılır. Yani, ilk sayı, ikinci sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır. Bölme işleminin genel kuralı, şeklindedir. Burada b, c ve d' nin sıfırdan farklı olması gerekir. Çünkü, sıfıra bölme tanımsızdır. Diğer taraftan, sıfırın sıfırdan farklı bir sayıya bölümü, sıfırdır. İşaret kuralı, çarpma işlemindeki gibidir. Örnekler: Karışık Örnekler: Örnek 1: olduğuna göre, toplamının a cinsinden değeri nedir? Çözüm: Bu iki ifadeyi taraf tarafa toplarsak, olur. Yani, a+b=12 bulunur. Buradan, b=12-a çıkar. Örnek 2: sayısı, sayısının kaç katıdır? Çözüm: Bir sayının bir başka sayının kaç katı olduğunu bulmak için, bölme işlemi yapılmalıdır. Bu takdirde, Örnek 3: olduğuna göre, a kaçtır? Çözüm: Eşitliğin sol tarafı sonsuza dek gittiğinden, yazabiliriz. Buradan, a/10 = 10-5, a/10 = 5, a= 10.5, a=50 bulunur. Örnek 4: Çözüm: yazılabilir. Buradan, 4x + 5 = x2 x2-4x -5 = 0 Çarpımları -5, toplamları -4 olan iki sayı, -5 ile +1 olduğundan, (x-5).(x+1) = 0 yazabiliriz. Böylece, x=5 ile x=-1 bulunur. Pozitif değerlerin toplamı negatif olamayacağından, x = 5 olmalıdır. Not: 5, 4' ün 1 fazlası olduğundan, sonuç 5 çıkmıştır. 4' ün yerinde 8 ve 5' in yerinde 9 bulunsaydı, sonuç 9 olacaktı. 4' ün yerine a ve 5' in yerine de b koyarsak, şayet b, a' nın 1 fazlası (b=a+1) ise, bu işlemin sonucu, b olur. Örnek 5: işleminin sonucu, yaklaşık olarak aşağıdakilerden hangisi olabilir? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Çözüm: Verilen işlem, sonsuzlu işlem olduğundan, 3' ün paydasına x dersek, işlemin tamamı da x olur. Dolayısıyla, yazabiliriz. Buradan, 4x -3 = x2, x2 -4x +3 = 0 olur. Bu denklem de, (x-3)(x-1)=0 şeklinde yazılabileceğinden, x=3 ile x=1 bulunur. Dolayısıyla, doğru seçenek (b) şıkkıdır. Not: işleminde, (a/2)2 = b ise, bu işlemin sonucu a/2 dir. Örnek 6: Çözüm: (8/2)2 = 42 = 16 olduğundan, işlemin sonucu a/2= 8/2 = 4 tür.

06-02-07, 23:53	#2 (permalink)
Darkness Bazı şeyler için iyi olmak yetmiyormuş... Beşiktaşlı Moderatör Giriş Tarihi: 22-08-2005 Yer: Güzel Denizli'm.. (: Mesajlar: 24,880 Rep Puanı: 35457433 Rep Gücü: 354858	C: Rasyonel Sayılarda Aritmetik İşlemler - Matematik [ BEŞİKTAŞ TİM ] Emeğine sağlık.. (Paylaşımcıya Destek Timi)

08-02-07, 16:58	#3 (permalink)
osi Mutfak Recordz... Giriş Tarihi: 07-07-2006 Yer: Mutfak RecordZ Mesajlar: 16,467 Blog Mesajları: 4 Rep Puanı: 20665005 Rep Gücü: 206840	C: Rasyonel Sayılarda Aritmetik İşlemler - Matematik [ BEŞİKTAŞ TİM ] teşekkürler

08-02-07, 17:10	#4 (permalink)
engin272 Forum Ustası Giriş Tarihi: 19-07-2005 Yer: İstanbul - beylikdüzü Yaş: 19 Mesajlar: 8,919 Rep Puanı: 18765609 Rep Gücü: 187782	C: Rasyonel Sayılarda Aritmetik İşlemler - Matematik [ BEŞİKTAŞ TİM ] *teşekkürler matematikle aram iyi olmasadaa sağol +rep (paylaşımcıya destek timi )*

08-02-07, 20:07	#5 (permalink)
emodepH HayaT!MaskeLi BaLo!! Giriş Tarihi: 10-01-2006 Yer: doğduğu yer:izmit memleket:sAkARyA mevkii:ön libero..!takım:Kurtköyspor.. Yaş: 20 Mesajlar: 3,476 Rep Puanı: 11228708 Rep Gücü: 112352	C: Rasyonel Sayılarda Aritmetik İşlemler - Matematik [ BEŞİKTAŞ TİM ] Eline emeğine sağlık.. Teşekkürler..

Konu Araçları
Çıktı Görüntüsünü Göster Sayfayı E-posta İle Yolla