EvrİŞİm (convolution) Ve Uygulamalari

ĎαйqєЯ · 25-03-08, 16:19

EVRİŞİM (CONVOLUTION) VE UYGULAMALARI

1.1. Giriş
Evrişim (convolution) uzun yıllardır bilinen ve uygulanan bir matematiksel işlem olmakla birlikte bu işlemi tanımlamak için matematikte çok çeşitli terimler kullanılagelmiştir. Örneğin yığışım tümlemesi (superposition integral), tarama (scanning) tümlemesi, Duhamel tümlemesi , yuvarlatma (smoothing) tümlemesi, ağırlıklı ortalama ve Almanca’da katlama (faltung) tümlemesi bunlar arasında sayılabilir. Fizikte ise evrişim, matematik tanımı yerine, daha çok bir işlem olarak ele alınır ve bir aygıtla kaydedilen bir büyüklük üzerinde aygıtın etkisini belirlemek amacıyla kullanılır.
Gerçekte bir ölçü aygıtının, kaydettiği bir zaman imine karşı belirli bir tepkisi, davranışı vardır. Yani bir zaman imini kaydeden bir aygıt, her değişik frekanstaki genlikleri belirli bir katsayı ile çarparak ağırlıklandırır. Bu yollada alete giren imin çeşitli frekanslardaki genlikleri farklı ölçülerde ağırlıklandırıldıklarından, başka bir ime dönüştürülmüş olmaktadır. Kayıt aygıtının bu dönüştürme özelliğine onun dönüşüm (transfer) fonksiyonuadı verilmektedir. Bu olgu yalnız kayıt aygıtı için değil, tüm algılıyıcılar için geçerlidir. Örneğin bir deprem kaydını ele alırsak, bu bir sismogramdır, pek çok bilgiler taşımaktadır, ancak kaydettiği, yer hareketinin bir koyesi değildir. Her- şeyden önce sismometre aygıtı ile yer hareketinin belirli bir yöndeki (N-S ya da E-W) bileşeni kaydedilmek istenmektedir. Sismometrenin kendine özgü bir dönüşüm fonksiyon vardır. Bu dönü- şüm fonksiyonun özelliklerine bağlı olarak, frekans seçiciliğinin de ötesinde, yer hareketinin yer- değiştirmelerini (displacement), hızını ya da ivmesini algılayabilir. Böylece de sismometrenin çıkış imi başka bir ime dönüşmüş olmaktadır. Bu nedenle de aynı istasyonda kısa ve uzun periyodlu sismometrelerle kaydedilmiş sismogramlar çok önemli ayrılıklar gösterirler.
Evrişim zamanla değişmeyen tüm doğrusal dizgiler için geçerli bir işlemdir. Bir dizgede giriş imi ile çıkış arasında doğrusal bir ilişki varsa bu dizgiye doğrusal dizge adı verilir. Çoğu jeofizik uygulamada yeryuvarının kendiside bir doğrusal dizge gibi davranır, kaynakta oluşturulan uyarı imine belirli bir tepki göstererek onu başka bir ime dönüştürür. Kaynakta belirli bir biçime sahip olan uyarı dalgacığı yer tarafından biçim değişikliğine uğratılarak algılama noktasında başka bir dalgacık biçiminde gözlenir. Yerin dönüşüm fonksiyonu katmanlı yapıya ve bu yapı içindeki fiziksel özelliklere bağlı olarak değişir. Bu nedenle yerin belirli bir uyarıya karşı dönüşüm fonksiyonunu bulmakla yer içini modellemek eş anlamlıdır. Bu nedenle de evrişimin jeofizikte çok çeşitli uygulamaları vardır.

1.2. Sürekli zaman fonksiyonlarının evrişimi
Zaman sürekli fonksiyonları olan f1(t) ve f2(t) gibi iki fonksiyonun evrişimi, matematikte

(1.1)

tümlesi ile tanımlanır ve evrişim tümlemesi (convolution integral) adı verilir. Evrişim (convolved) fonksiyon yine bir zaman fonksiyonudur.
Evrişim simgesel olarak (*) işaretiyle de gösterilir, yani (1.1) bağıntısı

(1.2)

biçiminde yazılabilir.
Evrişime giren f1(t) fonksiyonunun t=0 zamanından önce tanımlanmamış olması du-rumunda (causal) (1.1) tümlemsinin alt sınırı sıfır değerinden başlar ve

(1.3)

bağıntısıyla gösterilir.
Evrişim işlemi bir doğrusal dizgenin girdi ve çıktısını düzenlediğinde, (1.2) bağın-tısından

(1.4)

yazılabilir; burada y(t) doğrusal dizgenin çıktısını, x(t) girdi imini, h(t) de doğrusal diz-genin impuls tepkisini simgelemektedir. Çoğu uygulamada doğrusal düzgenin impuls tepki fonksiyonu tek yanlı yani t 0 için h(t)=0 olmak zorundadır; bu durumda t de-ğerinde h(t- )=0 ve tümlemenin üst sınırı yerine t değeri alır. Impuls tepki fonk-siyonunun tek yanlı olmaması durumunda girdi imi henüz doğrusal dizgeye girmeden bir çıktının elde edilmesi gibi bir durum ortaya çıkacaktır.

25-03-08, 16:19	#1 (permalink)
ĎαйqєЯ Seviyorum Özlüyorum(-_-) Giriş Tarihi: 03-06-2007 Yer: Seni Seçtik Diye Adam mı Oldun Pikachu? ♂ĎαйqєЯ♀ Yaş: 19 Mesajlar: 4,273 Blog Mesajları: 2 Rep Puanı: 38565776 Rep Gücü: 385713	EvrİŞİm (convolution) Ve Uygulamalari EVRİŞİM (CONVOLUTION) VE UYGULAMALARI 1.1. Giriş Evrişim (convolution) uzun yıllardır bilinen ve uygulanan bir matematiksel işlem olmakla birlikte bu işlemi tanımlamak için matematikte çok çeşitli terimler kullanılagelmiştir. Örneğin yığışım tümlemesi (superposition integral), tarama (scanning) tümlemesi, Duhamel tümlemesi , yuvarlatma (smoothing) tümlemesi, ağırlıklı ortalama ve Almanca’da katlama (faltung) tümlemesi bunlar arasında sayılabilir. Fizikte ise evrişim, matematik tanımı yerine, daha çok bir işlem olarak ele alınır ve bir aygıtla kaydedilen bir büyüklük üzerinde aygıtın etkisini belirlemek amacıyla kullanılır. Gerçekte bir ölçü aygıtının, kaydettiği bir zaman imine karşı belirli bir tepkisi, davranışı vardır. Yani bir zaman imini kaydeden bir aygıt, her değişik frekanstaki genlikleri belirli bir katsayı ile çarparak ağırlıklandırır. Bu yollada alete giren imin çeşitli frekanslardaki genlikleri farklı ölçülerde ağırlıklandırıldıklarından, başka bir ime dönüştürülmüş olmaktadır. Kayıt aygıtının bu dönüştürme özelliğine onun dönüşüm (transfer) fonksiyonuadı verilmektedir. Bu olgu yalnız kayıt aygıtı için değil, tüm algılıyıcılar için geçerlidir. Örneğin bir deprem kaydını ele alırsak, bu bir sismogramdır, pek çok bilgiler taşımaktadır, ancak kaydettiği, yer hareketinin bir koyesi değildir. Her- şeyden önce sismometre aygıtı ile yer hareketinin belirli bir yöndeki (N-S ya da E-W) bileşeni kaydedilmek istenmektedir. Sismometrenin kendine özgü bir dönüşüm fonksiyon vardır. Bu dönü- şüm fonksiyonun özelliklerine bağlı olarak, frekans seçiciliğinin de ötesinde, yer hareketinin yer- değiştirmelerini (displacement), hızını ya da ivmesini algılayabilir. Böylece de sismometrenin çıkış imi başka bir ime dönüşmüş olmaktadır. Bu nedenle de aynı istasyonda kısa ve uzun periyodlu sismometrelerle kaydedilmiş sismogramlar çok önemli ayrılıklar gösterirler. Evrişim zamanla değişmeyen tüm doğrusal dizgiler için geçerli bir işlemdir. Bir dizgede giriş imi ile çıkış arasında doğrusal bir ilişki varsa bu dizgiye doğrusal dizge adı verilir. Çoğu jeofizik uygulamada yeryuvarının kendiside bir doğrusal dizge gibi davranır, kaynakta oluşturulan uyarı imine belirli bir tepki göstererek onu başka bir ime dönüştürür. Kaynakta belirli bir biçime sahip olan uyarı dalgacığı yer tarafından biçim değişikliğine uğratılarak algılama noktasında başka bir dalgacık biçiminde gözlenir. Yerin dönüşüm fonksiyonu katmanlı yapıya ve bu yapı içindeki fiziksel özelliklere bağlı olarak değişir. Bu nedenle yerin belirli bir uyarıya karşı dönüşüm fonksiyonunu bulmakla yer içini modellemek eş anlamlıdır. Bu nedenle de evrişimin jeofizikte çok çeşitli uygulamaları vardır. 1.2. Sürekli zaman fonksiyonlarının evrişimi Zaman sürekli fonksiyonları olan f1(t) ve f2(t) gibi iki fonksiyonun evrişimi, matematikte (1.1) tümlesi ile tanımlanır ve evrişim tümlemesi (convolution integral) adı verilir. Evrişim (convolved) fonksiyon yine bir zaman fonksiyonudur. Evrişim simgesel olarak (*) işaretiyle de gösterilir, yani (1.1) bağıntısı (1.2) biçiminde yazılabilir. Evrişime giren f1(t) fonksiyonunun t=0 zamanından önce tanımlanmamış olması du-rumunda (causal) (1.1) tümlemsinin alt sınırı sıfır değerinden başlar ve (1.3) bağıntısıyla gösterilir. Evrişim işlemi bir doğrusal dizgenin girdi ve çıktısını düzenlediğinde, (1.2) bağın-tısından (1.4) yazılabilir; burada y(t) doğrusal dizgenin çıktısını, x(t) girdi imini, h(t) de doğrusal diz-genin impuls tepkisini simgelemektedir. Çoğu uygulamada doğrusal düzgenin impuls tepki fonksiyonu tek yanlı yani t 0 için h(t)=0 olmak zorundadır; bu durumda t de-ğerinde h(t- )=0 ve tümlemenin üst sınırı yerine t değeri alır. Impuls tepki fonk-siyonunun tek yanlı olmaması durumunda girdi imi henüz doğrusal dizgeye girmeden bir çıktının elde edilmesi gibi bir durum ortaya çıkacaktır.

Konu Araçları
Çıktı Görüntüsünü Göster Sayfayı E-posta İle Yolla