Son Dakika Haberlerini Takip Edebileceğiniz FrmTR Haber Yayında. * FrmTR Sohbet Kontrol Panelinizde.
Forum TR
Go Back   Forum TR > > >
FrmTR'ye Reklam Vermek İçin: [email protected]
Cevapla
 
Konu Araçları
Eski 26-11-07, 23:15   #1
axzu

Varsayılan Kümeler ile İlgili Herşey Burda


Küme matematikte tanımsız olarak kabul edilen kavramlarından biridir. Ancak sezgisi olarak kümenin ne ifade ettiği de anlaşılmalıdır.
Belirli ve birbirinden farklı nesnelerin küme oluşturduğunu anlarız.
Kümeler genel olarak “A,B,C…” gibi büyük harflerle gösterilir.
Elemanları dediğimiz nesneleri de küçük harflerle gösterilir. Bir “A” kümesine ait “a” elemanı “a Î A” şeklinde yazılır.

Kümelerin Gösterimi

1.Liste Yöntemi:

Kümeye ait olan elemanlari açık olarak belirtme yöntemidir.Kümeye ait olan öğeler kümenin içersine yazılarak gösterilir.

Örnek: A={ Ahmet , Ali , Mehmet , a , b , c }

2.Ortak Özellik Yöntemi:

Bir kümenin özelliklerini belirterek yazma yöntemidir. Küme ortrak özellik yöntemi ile; { x : x… koşulunu sağlar } = {x | x…. koşulunu sağlar } biçiminde gösterilir.

Örnek: A={x | x , 6’nın pozitif tam böleni ve x Î Z } kümesini liste yöntemiyle gösterelim.

A = { 1 , 2 , 3 , 6 }

3.Şema Yöntemi (Venn Şeması)

Küme öğelerinin kapalı bir şekil içersinde gösterme yöntemidir.

Örnek: A={ x : | x – 2 | £ 1 , x Î } kümesinin elemanlarini şema yöntemiyle yazalım.
| x – 2 | £ 1 A
-1 £ x – 2 £ 1
£ x £ 3
A={ 1 , 2 3 }


SONLU ve SONSUZ KÜMELER:

Tanım: Eleman sayısı sonlu olan kümeye sonlu küme,eleman sayısı sonlu olmayan kümeye sonsuzküme denir.

Örnek: A = { x : -1 £ x < 20 , x Î Z } kümesinde s(A) =21 oduğundan A kümesi sonlu kümedir.

A = { x: -2 £ x £ 4 , x Î Z } kümesinin sonlu saydia elemanı yoktu. Bu nedenle A kümesi sonsuz kümedir.

Hatırlatma
Doğal sayılar kümesi “N” ile gösterilir.
N = { 0 , 1 , 2 , … , n , … }
Tam sayılar kümesi “Z” ile gösterilir.
Z = { … , -n , … , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , … , n , … }
Rasyonel sayılar kümesi “Q” ile gösterilir.
Q = { a/b: a Î Z , b Î Z , b ¹ 0 }
Reel (Gerçek,Gerçel Sayılar) kümesi “R” ile gösterilir.


BOŞ KÜME:

Tanım: Elemanı olmayan kümeye BOŞ KÜME denir. f veya { } sembollerinden biriyle gösterilir.

Örnek: A = { x: x = - 1 , x Î R } kümesi boş kümedir. Çünkü karesi “-1” olan reel sayı yoktur.


UYARI:
{ f } boş küme değildir , tek elemanlı kümedir.
{ 0 } kümesi boş küme değildir.
Boş küme bir tanedir.


EŞİT KÜMELER:

Tanım: Aynı elemanlardan oluşan kümeye eşit kümeler denir. A ve B eşit kümeler ise “ A = B “ ile , A ve B eşit değilse “ A ¹ B “ ile gösterilir.

Örnek: A = { a , b , 2 } , B = { b , 2 , a }
A = B ‘ dir

DENK KÜMELER:

Tanım: Eleman sayıları eşit olan iki kümeye denk kümeler denir.

Örnek: A= { 1 , 0 , -1 } B = { a , b , c } A ¹ B dir fakat s(A) = s(B) = 3 olduğundan A ve B denk kümelerdir.


UYARI: Liste yöntemi ile yazılan bir kümede yazılış sırası değiştirğinde küme değişmez.


ALT KÜME:

Bir “A” kümesinde bulunan B
Her eleman aynı zamanda “B” kü-
mesinde eleman ise “A” kümesi “B” A
kümesinin alt kümesidir denir ve
“A Ì B “ ifadesi ile gösterilir.
“A Ì B “ ifadesi A alt küme B yada
“B” “A’yı” kapsar biçiminde okunur.
"x Î A , x Î B ise A Ì B ‘dir.
A Ì B


Örnek: A = { -1 , 2 , 3 } B = { -1 , 3 , 6 , 5 , 2 , 7 } ise
A Ì B ‘dir.

Alt Kümenin Özellikleri:
Her “ A” kümesi için F Ì A ‘dır.(Çünkü F ‘ye ait olup A ‘ ya ait olmayan eleman yoktur.
Her “A” kümesi için A Ì A ‘dır. (Her x Î A için x Î A olduğundan A Ì A ‘dır. )
A , B , C kümeleri için ( A Ì B ve B Ì C) &THORN; A Ì C ‘dir.
(A Ì B ve B Ì A) Û A = B ‘ dir.




ÖZALT KÜME:

Tanım: Bir “A” kümesinin kendisi dışındaki alt kümesine “A” kümesinin özalt kümesi denir.

Örnek: A = { 2 , 5 } kümesinin özalt kümeler F , {2} , {5} ‘ dir.

KUVVET KÜMESİ:

Tanım: Bir “A” kümesinin bütün alt kümelerinin kümesine A ‘nın kuvvet kümesi denir ve “P(A)” ile gösterilir.

Örnek: A = { a , x } ise P(A) = { F,{0},{x},{a,x} } ‘dır.

ALT ve ÖZALT KÜME SAYISI:

Tanım: Genel olarak s(A)=n olan “A” kümesinin alt kümelerinin sayısı 2 ve özalt kümelerinin 2 – 1 ‘dir.

Örnek: A = { 1 , 2 , 3 } ise bu kümenin alt küme sayısı 2 ‘dir.
S(A) = 3 oldugundan 2 = 8’dir. A kümesinin 8 alt kümesi 7 özalt kümesi vardir.

N ELEMANLI BİR A KÜMESİNİN (r £ n) r ELEMANLI ALT KÜME SAYISI:

N öğeli bir kümenin r_öğeli (r £ n) alt kümelerinin sayısı
( ) = ‘dir. (yani n’in r’li kombinasyonu denir.)

Örnek: A = { a , b , c , d } kümesini 2 elemanlı alt kümelerinin
sayısını bulalım. ( ) =



KÜMELERDE İŞLEMLER

1.Kümelerin Bielişimi:
Tanım: “A ve B” kümelerinin bileşimi A È B = { x : x Î A veya x Î B } ‘dir. “A bileşim B” kümesi “A ile B” nin tüm elemanlarından oluşur.

A B B A B

A



A È B A È B A È B


Örnek: A = { 1 , 2 , 3 , 4 } ve B = { 2 , 4 , 7 , 9 } ise
A È B = { 1 , 3 , 4 , 2 , 7 , 9 } ‘dur.

Birleşim Özellikleri
Tek kuvvet özelliği:
Her A kümesi için A È A = A ‘dır
Her A ve B kümesi için A Ì B ‘ise A È B = B ‘ dir.
Değişme özelliği:
Her A ve B kümeleri için A È B = B È A ‘dir.
Birleşme özelliği:
Her A , B ve C kümeleri için (AÈB) È C = A È (B È C) ‘dir.
s(A ÈB) = s(A) + s(B) – s(A ÇB) ‘ dir.

2.Kümelerde Kesişim:
Tanım: “A ve B” kümelerinin kesişimi A Ç B ={x : x Î A ve x Î B} ’dir. “A kesişim B” kümesi hem “A” hemde “B” kümesine ait elemanlardan olusmaktadır.


A B






A Ç B

Örnek: A = { 1 , a , 2 , b , 3 } ve B = { 1 , 6 , 7 , b } ise
A Ç B = { 1 , b } ‘ dir.





Kesişim İşleminin Özellikler:
Tek kuvvet özelliği:
Her A kümesi için A Ç A = A ‘dır
Her A ve B kümesi için A Ì B ise A Ç B = A ‘dır.
Değişme özelliği:
Her A ve B kümeleri için A Ç B = B Ç A ‘dır.
Birleşme özelliği:
(A Ç B) Ç C = A ( B Ç C) ‘ dir.

3.Ayrık Kümeler:
Tanım: A ve B kümeleri için A Ç B = F ise bu kümeler atrık kümelerdir.

Örnek: A = { 1 , 5 , 6 } ve B = { 2 , b , y } ise
A Ç B = F oldugu üçün A ve B kümeleri ayrık kümelerdir.

4.Dağılma Özelliği:

a.)Birleşimin Kesişim Üzerinde Dağılma Özelliği:
Her A , B ve C elemanları için
A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C ) ‘ dir


Örnek: A = { 1 , 2 , 3 } , B = { 2 , 3 , 4 } ve C = { 3 , 4 , 5 } ‘ ise
A È ( B Ç C ) = A È { 3 , 4 }
= { 1 , 2 , 3 , 4 }

( A È B ) Ç ( A È C ) = { 1 , 2 , 3 , 4 } Ç { 1 , 2 , 3 , 4 }
= { 1 , 2 , 3 ,4 }

{ 1 , 2 , 3 , 4 } = { 1 , 2 , 3 , 4 } = AÈ(BÇC) = ( A È B ) Ç ( A È C )


b.)Kesişimin Birleşim Üzerinde Dağılma Özelliği
Her A , B ve C kümeleri için
A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C ) ‘ dir.

Örnek: A = { a , b , c } , B = { c , d } ve C = { d , e } ise
A Ç ( B È C ) = A Ç { c , d , e }
= { c }
( A Ç B ) È ( A Ç C ) = { c } Ç F
= { c }

{ c } = { c } = A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C )
5.Birleşimin Eleman Sayısı:
A ve B kümeleri için s( A È B ) = s( A ) + s( B ) – s( A Ç B ) ‘ dir.

Örnek: s( A ) = 5 , s( B ) = 10 ve s (A Ç B ) = 2 ise
s( A È B ) = 5 + 10 – 2
= 13

6.Evrensel Küme:
Üzerinde işlem yapılan bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir ve E ile gösterilir.


E
A
B C A Ì E , B Ì E , C Ì E
Ve ( B È C ) Ì E ‘ dir.



7.Tümleme:
Bir A kümesine ait olmayan fakat evrensel kümeye ait olan tüm elemanlardan oluşan kümeye A ‘ kümesinin tümleyeni denir.

E







A kümesinin tümleyini A¢ = A = A sembollerinden biriyle gösterilir.

Örnek: E = { a , b , c , d , e } ve A = { a , b , c } ise
A¢ = { d , e } ‘ dir.

Tümleme İşleminin Özellikleri:
A Ç A¢ = F
A È A¢ = E
( A¢ ) ¢ = A
A Ì B ise B¢ Ì A¢ ‘dir.
( A È B ) ¢ = A¢ Ç B¢ (De Morgon Kuralı)
(A Ç B ) ¢ = A¢ È B¢ ( De Morgon Kuralı)
s(A) + s(A) ¢ = s(E)
E¢ = F
F¢ = E

8.Fark Kümesi:
A ve B kümeleri için A \ B = { x : x Î A ve x Ï B } kümesine A fark B kümesi denir.

A B


A \ B A Ç B B \ A




Örnek: A = { a , b , c , d } ve B = { a , d , e , f , b } ise
A \ B = { c } B \ A = { e , f } ‘ dir.

Fark Kümesinin Özellikleri:
A ¹ B ise A \ B ¹ B \ A
E \ A¢ = A
A \ B = A Ç B¢
A Ç B = F ise A \ B = A


9.Simetrik Fark:
A ve B kümeleri için A D B = ( A \ B ) È ( B \ A ) kümesine A ve B nin simetrik fark kümesi denir.

Örnek: A = { a , {b} , c , {d,e} } ve B = { {a} , {b} , c , d } ise
A D B = { a , {a} , d , {d,e} } ’ dir.

Açık Önermeler ve Niceliyiciler:

Açık Önerme:
Tanım: İçinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlere , doğruluğu veya yanlışlığı hakkında kesin karar verilebilen önermelere açık önerme denir.

Örnek: P(x)= “x tamsayıdır” açık önermesinde x yerine 2 yazdığımızda önerme doğru olur. P(2) º 1 ‘dir. P(x) önermesinde x yerine ½ yadığımızda önerme yanlış olur. P(½) = 0 ‘dır.

Tanım: Biraçık önermeyi doğru yapan elemanlardan oluşan kümeye “Açık Önermenin Doğruluk Kümesi” yada “Çözüm kümesi” denir.

Örnek: P(x) = 3x+1 < 13 açık önermesinin doğal sayılarda doğruluk
kümesini bulalım.
3x+1 < 13 &THORN; 3x < 12 &THORN; x < 4 ‘ tür.
P(x) önermesi x = 0 , x = 1 , x = 2 , x = 3 için doğru çözüm
kümesidir.
Ç = { 0 , 1 , 2 , 3 } ‘dür.

Niceliyiciler:
Günlük yaşantımızda kullandığımız “bazı , her” gibi sözcüklerle yaptığımız bir çok önerme vardır. “Bazı aylar 30 gündür” önermesinde sözcüğü “En az bir ay 30 gündür” anlamındadır. “ Her kuş uçar ” önermesinde her bütün anlamındadır.

Varlıksal Niceliyiciler:
“Bazı” ile ifade edilen niceliyeciye varlıksal niceliyici denir.Bazı sözcüğü “En az bir” anlamına gelir ve bazı ile yapılan önermenin doğruluğu için en az bir doğru örnek yeter. Matematikte bazı sözcüğünün yerine “ $ “ sembolü kullanılır.


Örnek: “ Bazı sayılar 3’ e tam bölünür önermesi 3’e gölünen 3 , 6 …
gibi sayılar olduğundan doğrudur.

Evrensel Niceliyiciler:
“Her” ifade edilen niceliyiciye “Evrensel Niceleyici” denir.Her sözcüğü bütün anlamına gelir ve “her” ile yapılan önermenin doğru olmadığını göstermek için bir tek yanlış örnek yeter.
Matematikte “her” sözcüğünün yerine “"” sembolü kullanılır.

Örnek: P(x) = Her x Î R , x > 0 ‘dır. Önermesi x=0 için doğru
değildir. O halde önerme yanlıştır.

“" ve $ ” İle Yapılan Önermelerin Olumsuzu:
Bir önerme doğru iken önermenin olumsuzu yanlıştır.
1. $x Î A , P(x) ‘ tir önermesinin olumsuzu
[ $x Î A , P(x) ]¢ ile göserilir ve

[ $x Î A , P(x) ]¢ º [ "x Î A , P(x) değilidir.]


2. ["x Îr , x > -1] ‘dir önermesinin olumsuzu ["x Îr , x > -1]¢ ile gösterilir.
["x Î R , x > -1]¢ º [ $x Î R , x < -1 ‘dir]


Sembol Olumsuzu(Değili)
"…………………………………$
$…………………………………"
³…………………………………<
=…………………………………¹
£………………………………….>
  Alıntı Yaparak Cevapla
Eski 10-10-11, 21:33   #2
komanndo0232

Varsayılan C: Kümeler ile İlgili Herşey Burda


EŞİT KÜME, DENK KÜME
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.
A kümesi B kümesine eşit ise A = B,
C kümesi D kümesine denk ise C º D
biçiminde gösterilir.


Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.

D. BOŞ KÜME
Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.
Boş küme { } ya da Æ sembolleri ile gösterilir.
Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.
{.} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.
NOT: Boş küme bazen küme değildir gibi algılanabilmektedir.Boş kümede bir kümedir fakat elemanı yoktur.Eleman sayfası 0 dır. Örneğin {Gölovası Köyü'nün Uçan İnekleri} kümedir fakat boş kümedir.



{Æ} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.


E. ALT KÜME - ÖZALT KÜME
1. Alt Küme
A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir.
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A Ì B biçiminde gösterilir.
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir. B É A biçiminde gösterilir.
C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C Ë D biçiminde gösterilir.
2. Özalt Küme
Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir.
3. Alt Kümenin Özellikleri
i) Her küme kendisinin alt kümesidir.

A Ì A
ii) Boş küme her kümenin alt kümesidir.

Æ Ì A
iii) (A Ì B ve B Ì A) Û A = B dir.
ıv) (A Ì B ve B Ì C) Ş A Ì C dir.
v) n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n ve özalt kümelerinin sayısı 2n – 1 dir.
vı) n elemanlı bir kümenin r tane (n ³ r) elemanlı alt kümelerinin sayısı



F. KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER
1. Kümelerin Birleşimi
A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È B biçiminde gösterilir.
A È B = {x : x Î A veya x Î B} dir.


2. Birleşim Işleminin Özellikleri
i) A È Æ = A
ii) A È A = A
iii) A È B = B È A
ıv) A È (B È C) = (A È B) È C
v) A Ì B ise, A È B = B
vı) A È B = Æ ise, (A = Æ ve B = Æ) dir.
3. Kümelerin Kesişimi
A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan
kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A Ç B
biçiminde gösterilir.
A Ç B = {x : x Î A ve x Î B} dir.



4. Kesişim Işleminin Özellikleri
i) A Ç Æ = Æ
ii) A Ç A = A
iii) A Ç B = B Ç A
ıv) (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)
v) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)
vı) A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

G. EVRENSEL KÜME
Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E ile gösterilir.


H. BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ
Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve A ya da A' ile gösterilir.
A = {x : x Î E ve x Ï A, A Ì E} dir.
Tümleyenin Özellikleri
i) E = Æ
ii) Æ = E
iii) () = A
iv) A È A = E ve A Ç A = Æ dir.
v) A È B = A Ç B
vı) A Ç B = A È B
vıı) E È A = E ve E Ç A = A dir.
vııı) A Ì B ise, B Ì A dir.

I. KUVVET KÜMESI
Bir kümenin bütün alt kümelerin kümesine kuvvet kümesi denir. Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir.
s(A) = n ise, s(P(A)) = 2n dir.

J. İKİ KÜMENİN FARKI
A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A \ B biçiminde gösterilir.
A – B = {x : x Î A ve x Ï B} dir.


Farkla Ilgili Özellikler
A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,
i) E – A = A
ii) A – B = A Ç B
iii) A – B = A È B dir.
ıv) (A – B) È (B – A) = A D B (Simetrik Fark)

K. ELEMAN SAYISI
A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,
i) s(A È B) = s(A) + s(B) – s(A Ç B)
ii) s(A È B È C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A Ç B) – s(A Ç C)
– s(B Ç C) + s(A Ç B Ç C)
iii) s(A È B) = s(A – B) + s(A Ç B) + s(B – A)
ıv) a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(V) = b + c, tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T) = a + b, voleybol ve tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T Ç V) = b olsun.

Tenis veya voleybol oynayanların sayısı:

s(T È V) = a + b + c
Tenis ya da voleybol oynayanların sayısı:

s(T – V) + s(V – T) = a + c
Sadece tenis oynayanların sayısı:

s(T – V) = a
Tenis oynamayanların sayısı:

s(T) = c + d
Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı:

s(T È V) = a + b + c
Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı:

s(A Ç B) = s(A È B) + s(T – V) + s(V – T) = d + a + c
Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı:

s(A È B) = d


BUDA BENDEN
  Alıntı Yaparak Cevapla
Eski 10-10-11, 21:36   #3
ozqur79

Varsayılan C: Kümeler ile İlgili Herşey Burda



Teşekkürler
  Alıntı Yaparak Cevapla
Eski 25-09-13, 19:30   #4
berkan123321

Varsayılan C: Kümeler ile İlgili Herşey Burda



güzel konu olmuş Teşekkürler..
Meraklısı için matematik okuması güzel bir konu .
  Alıntı Yaparak Cevapla
Eski 25-09-13, 19:31   #5
berkan123321

Varsayılan C: Kümeler ile İlgili Herşey Burda

@axzu ; Gs' li olmasan rep verirdim )
  Alıntı Yaparak Cevapla
Cevapla

Bu konunun kısa yolunu aşağıdaki sitelere ekleyebilirsiniz

Konu Araçları

Gönderme Kuralları
Yeni konu açamazsınız
Cevap yazamazsınız
Dosya gönderemezsiniz
Mesajlarınızı düzenleyemezsiniz

BB code is Açık
Smiley Açık
[IMG] kodu Açık
HTML kodu Kapalı



5651 sayılı yasaya göre forumumuzdaki mesajlardan doğabilecek her türlü sorumluluk yazan kullanıcılara aittir. Şikayet Mailimiz. İçerik, Yer Sağlayıcı Bilgilerimiz. Reklam Mailimiz. Gizlilik Politikası


Reklamı Kapat

Reklamı Kapat