Polinomlar

CIbIK KıRAkeR · 13-10-07, 12:43

A. TANIM
n bir doğal sayı ve a0, a1, a2, ... , an – 1, an birer gerçel sayı olmak üzere,

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an – 1xn – 1+anxn

biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel) katsayılı n. dereceden polinom (çok terimli) denir.

B. TEMEL KAVRAMLAR

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an – 1xn – 1+anxn

olmak üzere,

Ü a0, a1, a2, ... , an–1, an in her birine polinomun terimlerinin katsayıları denir.

Ü a0, a1x, a2x2, ... , an–1xn – 1, anxn in her birine polinomun terimleri denir.

Ü Polinomun terimlerinden biri olan a2x2 teriminde x in kuvveti olan 2 ye bu terimin derecesi denir.

Ü Polinomu oluşturan terimler içerisinde derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun baş katsayısı, bu terimin derecesine de polinomun derecesi denir ve der [p(x)] ile gösterilir.

Ü Değişkene bağlı olmayan terime polinomun sabit terimi denir.

Ü a0 = a1 = a2 = ... = an = an–1 = 0 ise, P(x) polinomuna sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.

Ü a0 ¹ 0 ve a1 = a2 = a3 = ... an – 1 = an = 0 ise, P(x) polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomunun derecesi sıfırdır.

Her polinom bir fonksiyondur. Fakat her fonksiyon polinom olmayabilir.

Buna göre, fonksiyonlarda yapılan işlemler polinomlarda da yapılır.

C. ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR

P(x, y) = 3xy2 – 2x2y – x + 1

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun derecesi denir.

D. POLİNOMLARDA EŞİTLİK

Aynı dereceli en az iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit ise bu polinomlara eşit polinomlar denir.

Ü P(x) polinomunun katsayıları toplamı P(1) dir.

Ü P(x) polinomunda sabit terim P(0) dır.

Herhangi bir polinomda; katsayılar toplamı bulunurken o polinomda değişkenler yerine 1 yazılır. Sabit terim bulunurken o polinomda değişkenler yerine 0 (sıfır) yazılır.
P(ax + b) polinomunun; katsayıları toplamı

P(a + b) ve sabit terimi P(b) dir.

Ü P(x) polinomunun;

Çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:

Tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:

E. POLİNOMLARDA İŞLEMLER

1. Toplama ve Çıkarma

P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ...

Q(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 + ...

olmak üzere,

P(x) + Q(x) = (an + bn)xn + (an – 1 + bn–1)xn – 1 + ...

P(x) – Q(x) = (an – bn)xn + (an – 1 – bn–1)xn – 1 + ...

olur.

2. Çarpma

İki polinomun çarpımı, birisinin her bir teriminin diğerinin her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimlerin toplamına eşittir.

3. Bölme

der [P(x)] ³ der [Q(x)] ve Q(x) ¹ 0 olmak üzere,

P(x) : Bölünen polinom

Q(x) : Bölen polinom

B(x) : Bölüm polinom

K(x) : Kalan polinomdur.

Ü P(x) = Q(x) . B(x) + K(x)

Ü der [K(x)] < der [Q(x)]

Ü K(x) = 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür.

Ü der [P(x)] = der [Q(x)] + der [B(x)]

Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer biçimde yapılır.

Bunun için;

Bölünen ve bölen polinomlar x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
Bölünen polinom soldan ilk terimi, bölen polinomun ilk terimine bölünür.
Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün te-rimleri ile çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta gelecek biçimde bölünen polinomun altına yazılır.
Bulunan sonuç, bölünen polinomdan çıkarılır. Fark polinomuna da aynı işlem uygulanır.
Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir.

F. KALAN POLİNOMUN BULUNMASI

Kalan polinomu, klasik bölme işlemiyle ya da aşağıdaki 3 yöntemden biri ile bulabiliriz.

1. Bölen Birinci Dereceden İse

Bir polinomun ax + b ile bölümünden kalanı bulmak için, polinomda değişken yerine yazılır.

P(x) in x – b ile bölümünden kalan P(b) dir.
P(mx + n) nin ax + b ile bölümünden kalan

2. Bölen Çarpanlara Ayrılıyorsa

Bölen çarpanlara ayrılıyorsa, her çarpan sıfıra eşitlenir. Bulunan kökler polinomda yazılarak kalan bulunur.

P(x) polinomunun a(x – b) . (x – c) ye bölümünden kalan mx + n ve bölüm polinom Q(x) ise,

P(x) = a(x – b) . (x – c) . Q(x) + mx + n olur.

P(b) = mb + n ... (1)

P(c) = mc + n ... (2)

(1) eşitliği ile (2) eşitliğinin ortak çözümünden m ve n bulunur.

Bölen polinomun derecesi n ise kalan polinomun derecesi en fazla (n – 1) dir.

3. Bölen Çarpanlarına Ayrılamıyorsa

Bölen çarpanlarına ayrılamıyorsa aşağıdaki 2 yöntem sırasıyla uygulanarak kalan polinom bulunur.

1) Bölen polinom sıfıra eşitlenerek en büyük dereceli değişkenin eşiti bulunur.

2) Bulunan ifade bölünen polinomda yazılır.

P(x) polinomunun ax2 + bx + c ile bölü-münden kalanı bulmak için P(x) polinomunda x2 yerine yazılır.
4. P(x) Polinomu (ax + b)n İle Tam Bölünüyorsa, (n Î N+)

P(x) = axn + bxm + d ise,

Pı(x) = a . nxn–1 + b . mxm–1 + 0

Pıı(x) = a . n . (n – 1)xn – 2 + b . m(m –1) . xm – 2 dir.

P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden elde edilen bölüm Q(x) ve kalan k1, Q(x) polinomunun (x – b) ile bölümünden kalan k2 ise,

P(x) in (x – a) (x – b) ile bölümünden kalan

K(x) = (x – a) k2 + k1 olur.

G. BASİT KESİRLERE AYIRMA

a, b, c, d, e, f A, B birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,

eşitliğinde A yı bulmak için, A nın paydasının kökü bulunur.

Bulunan bu değer eşitliğin sol yanında A nın paydası atılarak elde edilen de yazılır.

Aynı işlemler B için de yapılır.

H. DERECE İLE İLGİLİ İŞLEMLER

m > n olmak üzere,

der[P(x)] = m

der[Q(x)] = n olsun.

Buna göre,

der[P(x) ± Q(x)] = m tir.
der[P(x) . Q(x)] = m + n dir.
P(x) in Q(x) ile bölümünden elde edilen bölüm B(x) ise, der[B(x)] = m – n dir.
k Î N+ için der[Pk(x)] = k . m dir.
der[P(kx)] = m, k ¹ 0 dır.

xManiaCOf_LPx · 14-10-07, 13:57

YazıyLada çok karışIK oLuyo be kardeş.. :S

ttyahoo · 15-10-07, 18:21

Ya bu polimonlar kolay basitde şu bölmeyi görürken ben derste yoktum tam kavrıyamadım olayı

saroglu22 · 19-10-07, 22:38

sağ olasın kardas

kirik_gitar · 27-10-07, 14:07

paylaşım için saol

13-10-07, 12:43	#1 (permalink)
CIbIK KıRAkeR : : : ℓєιησ∂ : : : Giriş Tarihi: 02-06-2007 Yer: ::ℓєιησ∂::тєєηєєкє&# Mesajlar: 1,291 Rep Puanı: 1101236 Rep Gücü: 11041	Polinomlar A. TANIM n bir doğal sayı ve a0, a1, a2, ... , an – 1, an birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an – 1xn – 1+anxn biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel) katsayılı n. dereceden polinom (çok terimli) denir. B. TEMEL KAVRAMLAR P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an – 1xn – 1+anxn olmak üzere, Ü a0, a1, a2, ... , an–1, an in her birine polinomun terimlerinin katsayıları denir. Ü a0, a1x, a2x2, ... , an–1xn – 1, anxn in her birine polinomun terimleri denir. Ü Polinomun terimlerinden biri olan a2x2 teriminde x in kuvveti olan 2 ye bu terimin derecesi denir. Ü Polinomu oluşturan terimler içerisinde derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun baş katsayısı, bu terimin derecesine de polinomun derecesi denir ve der [p(x)] ile gösterilir. Ü Değişkene bağlı olmayan terime polinomun sabit terimi denir. Ü a0 = a1 = a2 = ... = an = an–1 = 0 ise, P(x) polinomuna sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır. Ü a0 ¹ 0 ve a1 = a2 = a3 = ... an – 1 = an = 0 ise, P(x) polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomunun derecesi sıfırdır. Her polinom bir fonksiyondur. Fakat her fonksiyon polinom olmayabilir. Buna göre, fonksiyonlarda yapılan işlemler polinomlarda da yapılır. C. ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR P(x, y) = 3xy2 – 2x2y – x + 1 biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun derecesi denir. D. POLİNOMLARDA EŞİTLİK Aynı dereceli en az iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit ise bu polinomlara eşit polinomlar denir. Ü P(x) polinomunun katsayıları toplamı P(1) dir. Ü P(x) polinomunda sabit terim P(0) dır. Herhangi bir polinomda; katsayılar toplamı bulunurken o polinomda değişkenler yerine 1 yazılır. Sabit terim bulunurken o polinomda değişkenler yerine 0 (sıfır) yazılır. P(ax + b) polinomunun; katsayıları toplamı P(a + b) ve sabit terimi P(b) dir. Ü P(x) polinomunun; Çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı: Tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı: E. POLİNOMLARDA İŞLEMLER 1. Toplama ve Çıkarma P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ... Q(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 + ... olmak üzere, P(x) + Q(x) = (an + bn)xn + (an – 1 + bn–1)xn – 1 + ... P(x) – Q(x) = (an – bn)xn + (an – 1 – bn–1)xn – 1 + ... olur. 2. Çarpma İki polinomun çarpımı, birisinin her bir teriminin diğerinin her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimlerin toplamına eşittir. 3. Bölme der [P(x)] ³ der [Q(x)] ve Q(x) ¹ 0 olmak üzere, P(x) : Bölünen polinom Q(x) : Bölen polinom B(x) : Bölüm polinom K(x) : Kalan polinomdur. Ü P(x) = Q(x) . B(x) + K(x) Ü der [K(x)] < der [Q(x)] Ü K(x) = 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür. Ü der [P(x)] = der [Q(x)] + der [B(x)] Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer biçimde yapılır. Bunun için; Bölünen ve bölen polinomlar x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır. Bölünen polinom soldan ilk terimi, bölen polinomun ilk terimine bölünür. Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün te-rimleri ile çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta gelecek biçimde bölünen polinomun altına yazılır. Bulunan sonuç, bölünen polinomdan çıkarılır. Fark polinomuna da aynı işlem uygulanır. Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir. F. KALAN POLİNOMUN BULUNMASI Kalan polinomu, klasik bölme işlemiyle ya da aşağıdaki 3 yöntemden biri ile bulabiliriz. 1. Bölen Birinci Dereceden İse Bir polinomun ax + b ile bölümünden kalanı bulmak için, polinomda değişken yerine yazılır. P(x) in x – b ile bölümünden kalan P(b) dir. P(mx + n) nin ax + b ile bölümünden kalan 2. Bölen Çarpanlara Ayrılıyorsa Bölen çarpanlara ayrılıyorsa, her çarpan sıfıra eşitlenir. Bulunan kökler polinomda yazılarak kalan bulunur. P(x) polinomunun a(x – b) . (x – c) ye bölümünden kalan mx + n ve bölüm polinom Q(x) ise, P(x) = a(x – b) . (x – c) . Q(x) + mx + n olur. P(b) = mb + n ... (1) P(c) = mc + n ... (2) (1) eşitliği ile (2) eşitliğinin ortak çözümünden m ve n bulunur. Bölen polinomun derecesi n ise kalan polinomun derecesi en fazla (n – 1) dir. 3. Bölen Çarpanlarına Ayrılamıyorsa Bölen çarpanlarına ayrılamıyorsa aşağıdaki 2 yöntem sırasıyla uygulanarak kalan polinom bulunur. 1) Bölen polinom sıfıra eşitlenerek en büyük dereceli değişkenin eşiti bulunur. 2) Bulunan ifade bölünen polinomda yazılır. P(x) polinomunun ax2 + bx + c ile bölü-münden kalanı bulmak için P(x) polinomunda x2 yerine yazılır. 4. P(x) Polinomu (ax + b)n İle Tam Bölünüyorsa, (n Î N+) P(x) = axn + bxm + d ise, Pı(x) = a . nxn–1 + b . mxm–1 + 0 Pıı(x) = a . n . (n – 1)xn – 2 + b . m(m –1) . xm – 2 dir. P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden elde edilen bölüm Q(x) ve kalan k1, Q(x) polinomunun (x – b) ile bölümünden kalan k2 ise, P(x) in (x – a) (x – b) ile bölümünden kalan K(x) = (x – a) k2 + k1 olur. G. BASİT KESİRLERE AYIRMA a, b, c, d, e, f A, B birer reel (gerçel) sayı olmak üzere, eşitliğinde A yı bulmak için, A nın paydasının kökü bulunur. Bulunan bu değer eşitliğin sol yanında A nın paydası atılarak elde edilen de yazılır. Aynı işlemler B için de yapılır. H. DERECE İLE İLGİLİ İŞLEMLER m > n olmak üzere, der[P(x)] = m der[Q(x)] = n olsun. Buna göre, der[P(x) ± Q(x)] = m tir. der[P(x) . Q(x)] = m + n dir. P(x) in Q(x) ile bölümünden elde edilen bölüm B(x) ise, der[B(x)] = m – n dir. k Î N+ için der[Pk(x)] = k . m dir. der[P(kx)] = m, k ¹ 0 dır.

14-10-07, 13:57	#2 (permalink)
xManiaCOf_LPx Meraklı Giriş Tarihi: 26-08-2007 Mesajlar: 320 Rep Puanı: 156464 Rep Gücü: 1581	C: Polinomlar YazıyLada çok karışIK oLuyo be kardeş.. :S

15-10-07, 18:21	#3 (permalink)
ttyahoo Onursal Üye Giriş Tarihi: 29-12-2005 Yer: Kayseri Yaş: 17 Mesajlar: 1,648 Rep Puanı: 7291082 Rep Gücü: 72960	C: Polinomlar Ya bu polimonlar kolay basitde şu bölmeyi görürken ben derste yoktum tam kavrıyamadım olayı Mesajı son düzenleyen ttyahoo* ( 15-10-07 - 18:22 ). Neden: yazım hatası*

19-10-07, 22:38	#4 (permalink)
saroglu22 Yabancı Giriş Tarihi: 19-10-2007 Yer: RiZe Yaş: 16 Mesajlar: 1 Rep Puanı: 2375 Rep Gücü: 0	C: Polinomlar sağ olasın kardas

27-10-07, 14:07	#5 (permalink)
kirik_gitar Yabancı Giriş Tarihi: 27-10-2007 Mesajlar: 15 Rep Puanı: 2375 Rep Gücü: 0	C: Polinomlar paylaşım için saol

Konu Araçları
Çıktı Görüntüsünü Göster Sayfayı E-posta İle Yolla