:_.._:|Permutasyon VE olasılık |:_.._:

Roberto Carlos · 30-05-07, 03:56

Permütasyonun özellikleri ve örnekler:

Tanım : n elemanlı bir A kümesinin birbirinden farklı r, (r £ n) elemanının herbir sıralanışına A kümesinin r li bir permütasyonu denir. n = r olması durumunda sıralı n lilerin herbirine A kümesinin bir permütasyonu denir.
n elemanlı bir A kümesinin r li permütasyonlarının sayısı P(n , r) biçiminde gösterilir.

Teorem : P(n,r) = dir. [özel olarak P(n, n) = n! dir.]

Örnek: olur.

Örnek 2: dır.

Örnek 3: A={a, b, c} olduğuna göre, A nın 2 li permütasyonlarının sayısını bulunuz.

A nın 2 li permütasyonlarının sayısı 6 dır.Bunlar:
(a, b), (a, c), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b) dir.

Teorem: E örnek uzayında iki olay ve A ve B olsun. A nın E ye göre tümleyeni A' olduğuna göre,

P(Ø) = 0
P Ì ise, P(A) £ P(B)
P(A') =1-P(A)
P(AÈB) = P(A) + P(B) - P(A ÇB) dir.

Örnek :

Örnek: 5 farklı kitap, 5 kitap konabilen bir kaba kaç değişik biçimde dizlir?
5 5! 5!
P(5,5) = = = = 120 dir.

2. Faktöriyel kavramı:

n Î olmak üzere 1den n ye kadar doğal sayıların çapımına n faktöryel denir ve n! ile gösterilir.
n! ise
n! = n(n-1)(n-2)...1 dir.

0! = 1 , 1! = 1 dir n faktöryelini sorularda kullanabilmek için değişik yazılımlarınıda bilmek gerekir.

Örnek : 5! i değişik biçimlerde yazınız.
5! = 5.4.3.2.1 5! = 5.4.3.2!
5! = 5.4.3! 5! = 5.4!

Örnek : (n-1)! i değişik biçimlerde yazınız.
(n-1)! = (n-1)(n-2)(n-3)!
(n-1)! = (n-1)(n-2)! gibi

3. Genel çarpma kuralı:

Bir işlem a yoldan, bununla ilişkili başka bir işlemde b yoldan yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte a.b yoldan yapılabilir.

Örnek : A = {1,2,3,4,5,6,7} kümesinin alt elemanlarıyla kaç tane rakamları birbirinden farklı üç basamaklı 350 den büyük sayı yazılabilir?
İki tablo çizerek çözelim.
4 6 5
4 6 5
+

(4,5,6,7) (3) (5,6,7)
4. Olasılık:

Tanım : İhitmal, raslantı ya da kesin olmayan olaylarla uğraşır.Raslantı; sonucu önceden bilinmeyen, gerçekleşmesi şansa bağlı olan olaydır.Örneğin bir parayı havaya attığımızda yazı mı yoksa tura mı geleceğini deney yapmadan bilemeyiz.

Örnek :
Deney : Bir zarın havaya atılması.
Çıkanlar : 1, 2, 3, 4, 5, 6
Örnek Uzay : E={1,2,3,4,5,6}
A olayı : Zarın üst yüzüne 5 gelmesi.
B olayı : Zarın üst yüzüne 5 gelmemesi.
C olayı : Zarın üst yüzüne 3 gelmesi.
İmkansız Olay : Zarın üst yüzüne 7 gelmesi.
Kesin Olay : Zarın üst yüzüne 7’den küçük bir sayma sayısının gelmesi.
Zıt Olaylar : A ve B olayları
Ayrık Olaylar : A ve C olayları

Bir olayın ihtimali :

Evrensel kümeyi “E”, bir olayı “A” ve A olayının ihtimalinide P(A) ile gösterirsek :

ile gösterilir.Diğer ihtimal hesaplarıda bu ifadeye dayanır.
Bir olayın ihtimali sıfır ile 1 arasında bir sayıdır. 0 ≤ P(A) ≤ 1 dir
a. P(A) = 0 ise A olayının gerçekleşmesi mümkün değil demektir.
b. P(A) = 1 ise A olayı kesinlikle gerçekleşecek demektir. (Bir zarın 7’den küçük bir sayma sayısının gelmesi.)
P(A) + PA´) = 1, yani bir olay olur veya olmaz demektir.Bu ifadeyi, P(A) = 1 - P(A´) şeklindede düşünebiliriz.
Örnek uzayda gerçekleştirilen olayların ihtimalleri toplamı 1 dir.
A1,A2,A3,..., An olayları için
P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1 olur.

Örnek :
Hilesiz bir zar atıldığında, zarın 3 geme olasılığı nedir?
Çözüm :
Zar artıldığında örnek uzay : E={1,2,3,4,5,6}
Ve olay : A={3} dür.

P(A) = = olur.
S(E) 6

Örnek :
Hilesiz bir zar atıldığında üst yüze tek sayı gelme ihtimali kaçtır?
Çözüm :
Zarın atılmasındaki tüm durumların sayısı 6 dır.İstenilenler 1 veya 3 veya 5 olduğu için, istenilen durum sayısı 3 dür.

P(tek sayı gelme) = = olur.
2
Örnek : 3 para aynı anda masaya atılıyor.Üste gelen yüzlerinin;
a. en az ikisinin yazı gelmesi,
b. birinci paranın yazı gelmesi,
c. her üç paranın aynı olması ihtimali kaçtır?
Çözüm :
Üç paranın atılması deneyinde tüm çıkanların kümesi ,
E = {YYY,YYT,YTY,YTT,TYY,TTY,TYT,TTT} dir.

a. A olayı en az iki yazı gelme olayı A ise,
A={YYY,YYT,YTY,TYY} olur.
P(A) = 4 = 1

b. 1.paranın yazı gelmesi olayı B ise
B={YYY,YYT,YTY,YTT} dir.
P(B) = 4 = 1 dir.

c. Her üç paranın aynı gelme olayı C ise
C={YYY,TTT} olduğundan,
P(C) = 2 = 1

Geçmiş yıllarda çıkmış sorular :

Soru 1: 1 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? (1995 FL)

4! 1! 4! 3!
A) B) C) D)

Çözüm:
4! 4! 1!
Cevap : A

Soru 2: Bir kutudaki 20 kalemden 11’i sağlam, geri kalanıda kırıktır.Kutuya geri atmamak şartıyla arka arkaya çekilen iki kaleminde kırık olma olasılığı nedir? (1995 FL)

A) 9 B) 7 C) 11 D) 18

Çözüm :
20 kalemden 11’i sağlam 9’u kırıktır.
P(A) = s(A) ve çekilen kalemler kutuya geri atılmadığından;

Çekilen 1. kalemin kırık olma olasılığı 9 ,

Çekilen 2. kalemin kırık gelme olasılığı 8 dur.Buradan;

P(A) = 9 8 18
* = olur.
Cevap : D

Soru 3: Bir rafta 5 tane matematik, 2 tane edebiyat ve 3 tane tarih kitabı vardır.Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılmamak üzere, kaç değişik şekilde yanyana sıralanabilir? (1996 FL)
A) 30 B)90 C)1440 D)8640
Çözüm :
Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılamayacağından;
5 Matematik kitabı = 5! şeklinde
2 Edebiyat kitabı = 2! şeklinde
3 Tarih kitabı = 3! Şeklinde sıralanır.

MMMM EE TTT

Burada Matematik, Edebiyat ve Tarih kitapları birer kitap gibi düşünülür; böyle olunca; 3! Şeklinde de bunlar sıralanır. Öyleyse;
3! . (5! . 2! . 3!) = 8640 olur. Cevap : D

Soru 4: Bir torbada 6 kırmızı, 4 mavi, 5 yeşil top vardır.Torbadan rastgele çekilen 1 topun yeşil olmaması olasılığı kaçtır? (1997 FL)
A) 1 B) 1 C) 2 D) 3

Çözüm :
P(A) = s(A) ve P(A) + P(A’)

P(Y) = 5 = 1
P(Y) + P(Y’) = 1 olduğundan;

1
P(Y’) = 1 P(Y’) = 1- 1 = 2 olur. Cevap : C

Soru 5: n bir doğal sayı olmak üzere;

(n-1)! + n! + (n+1)! işleminin sonucu aşağıdakilerden
hangisine eşittir? (1997 FL)

A) n+1 B) 2n C) n+1 D) n-1

Çözüm :
= (n-1)! + n . (n-1)! + (n+1) . n . (n-1)!

= (n-1)! [1 + n + (n + 1)! . n] = 1 + n + n + n

= n + 2n + 1 = (n + 1)

= n + 1 olur. Cevap : A

Soru 6: P(n;4) = 5P(n;3) ise, n’in değeri kaçtır? (1997 FL)

A) 3 B) 4 C) 8 D) 10

Çözüm :
n! = 5. n!

1! = 5 1 = 5

n-3 = 5 n = 8 olur. Cevap : C

DOSTANE · 30-05-07, 22:47

Teşekkürler ellerine sağlık

giyotan · 04-06-07, 17:00

teşekküler... işime yaricak..

Aaron · 04-06-07, 17:37

Eline sağlık

█►αℓмıяαтα◄█ · 05-06-07, 21:02

paylaŞimin IÇin Tesekkur Ederim..

30-05-07, 03:56	#1 (permalink)
Roberto Carlos Hızlı Üye Giriş Tarihi: 21-02-2007 Yer: Sensiz Geçen Günlerin Kazasi Yok Be Sevgili! Önceleri Hayat Veren Şah Damarimdin, Atardin:( Yaş: 22 Mesajlar: 1,608 Rep Puanı: 13119625 Rep Gücü: 131229	:_.._:\|Permutasyon VE olasılık \|:_.._: Permütasyonun özellikleri ve örnekler: Tanım : n elemanlı bir A kümesinin birbirinden farklı r, (r £ n) elemanının herbir sıralanışına A kümesinin r li bir permütasyonu denir. n = r olması durumunda sıralı n lilerin herbirine A kümesinin bir permütasyonu denir. n elemanlı bir A kümesinin r li permütasyonlarının sayısı P(n , r) biçiminde gösterilir. Teorem : P(n,r) = dir. [özel olarak P(n, n) = n! dir.] Örnek: olur. Örnek 2: dır. Örnek 3: A={a, b, c} olduğuna göre, A nın 2 li permütasyonlarının sayısını bulunuz. A nın 2 li permütasyonlarının sayısı 6 dır.Bunlar: (a, b), (a, c), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b) dir. Teorem: E örnek uzayında iki olay ve A ve B olsun. A nın E ye göre tümleyeni A' olduğuna göre, P(Ø) = 0 P Ì ise, P(A) £ P(B) P(A') =1-P(A) P(AÈB) = P(A) + P(B) - P(A ÇB) dir. Örnek : Örnek: 5 farklı kitap, 5 kitap konabilen bir kaba kaç değişik biçimde dizlir? 5 5! 5! P(5,5) = = = = 120 dir. 2. Faktöriyel kavramı: n Î olmak üzere 1den n ye kadar doğal sayıların çapımına n faktöryel denir ve n! ile gösterilir. n! ise n! = n(n-1)(n-2)...1 dir. 0! = 1 , 1! = 1 dir n faktöryelini sorularda kullanabilmek için değişik yazılımlarınıda bilmek gerekir. Örnek : 5! i değişik biçimlerde yazınız. 5! = 5.4.3.2.1 5! = 5.4.3.2! 5! = 5.4.3! 5! = 5.4! Örnek : (n-1)! i değişik biçimlerde yazınız. (n-1)! = (n-1)(n-2)(n-3)! (n-1)! = (n-1)(n-2)! gibi 3. Genel çarpma kuralı: Bir işlem a yoldan, bununla ilişkili başka bir işlemde b yoldan yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte a.b yoldan yapılabilir. Örnek : A = {1,2,3,4,5,6,7} kümesinin alt elemanlarıyla kaç tane rakamları birbirinden farklı üç basamaklı 350 den büyük sayı yazılabilir? İki tablo çizerek çözelim. 4 6 5 4 6 5 + (4,5,6,7) (3) (5,6,7) 4. Olasılık: Tanım : İhitmal, raslantı ya da kesin olmayan olaylarla uğraşır.Raslantı; sonucu önceden bilinmeyen, gerçekleşmesi şansa bağlı olan olaydır.Örneğin bir parayı havaya attığımızda yazı mı yoksa tura mı geleceğini deney yapmadan bilemeyiz. Örnek : Deney : Bir zarın havaya atılması. Çıkanlar : 1, 2, 3, 4, 5, 6 Örnek Uzay : E={1,2,3,4,5,6} A olayı : Zarın üst yüzüne 5 gelmesi. B olayı : Zarın üst yüzüne 5 gelmemesi. C olayı : Zarın üst yüzüne 3 gelmesi. İmkansız Olay : Zarın üst yüzüne 7 gelmesi. Kesin Olay : Zarın üst yüzüne 7’den küçük bir sayma sayısının gelmesi. Zıt Olaylar : A ve B olayları Ayrık Olaylar : A ve C olayları Bir olayın ihtimali : Evrensel kümeyi “E”, bir olayı “A” ve A olayının ihtimalinide P(A) ile gösterirsek : ile gösterilir.Diğer ihtimal hesaplarıda bu ifadeye dayanır. Bir olayın ihtimali sıfır ile 1 arasında bir sayıdır. 0 ≤ P(A) ≤ 1 dir a. P(A) = 0 ise A olayının gerçekleşmesi mümkün değil demektir. b. P(A) = 1 ise A olayı kesinlikle gerçekleşecek demektir. (Bir zarın 7’den küçük bir sayma sayısının gelmesi.) P(A) + PA´) = 1, yani bir olay olur veya olmaz demektir.Bu ifadeyi, P(A) = 1 - P(A´) şeklindede düşünebiliriz. Örnek uzayda gerçekleştirilen olayların ihtimalleri toplamı 1 dir. A1,A2,A3,..., An olayları için P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1 olur. Örnek : Hilesiz bir zar atıldığında, zarın 3 geme olasılığı nedir? Çözüm : Zar artıldığında örnek uzay : E={1,2,3,4,5,6} Ve olay : A={3} dür. P(A) = = olur. S(E) 6 Örnek : Hilesiz bir zar atıldığında üst yüze tek sayı gelme ihtimali kaçtır? Çözüm : Zarın atılmasındaki tüm durumların sayısı 6 dır.İstenilenler 1 veya 3 veya 5 olduğu için, istenilen durum sayısı 3 dür. P(tek sayı gelme) = = olur. 2 Örnek : 3 para aynı anda masaya atılıyor.Üste gelen yüzlerinin; a. en az ikisinin yazı gelmesi, b. birinci paranın yazı gelmesi, c. her üç paranın aynı olması ihtimali kaçtır? Çözüm : Üç paranın atılması deneyinde tüm çıkanların kümesi , E = {YYY,YYT,YTY,YTT,TYY,TTY,TYT,TTT} dir. a. A olayı en az iki yazı gelme olayı A ise, A={YYY,YYT,YTY,TYY} olur. P(A) = 4 = 1 b. 1.paranın yazı gelmesi olayı B ise B={YYY,YYT,YTY,YTT} dir. P(B) = 4 = 1 dir. c. Her üç paranın aynı gelme olayı C ise C={YYY,TTT} olduğundan, P(C) = 2 = 1 Geçmiş yıllarda çıkmış sorular : Soru 1: 1 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? (1995 FL) 4! 1! 4! 3! A) B) C) D) Çözüm: 4! 4! 1! Cevap : A Soru 2: Bir kutudaki 20 kalemden 11’i sağlam, geri kalanıda kırıktır.Kutuya geri atmamak şartıyla arka arkaya çekilen iki kaleminde kırık olma olasılığı nedir? (1995 FL) A) 9 B) 7 C) 11 D) 18 Çözüm : 20 kalemden 11’i sağlam 9’u kırıktır. P(A) = s(A) ve çekilen kalemler kutuya geri atılmadığından; Çekilen 1. kalemin kırık olma olasılığı 9 , Çekilen 2. kalemin kırık gelme olasılığı 8 dur.Buradan; P(A) = 9 8 18 * = olur. Cevap : D Soru 3: Bir rafta 5 tane matematik, 2 tane edebiyat ve 3 tane tarih kitabı vardır.Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılmamak üzere, kaç değişik şekilde yanyana sıralanabilir? (1996 FL) A) 30 B)90 C)1440 D)8640 Çözüm : Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılamayacağından; 5 Matematik kitabı = 5! şeklinde 2 Edebiyat kitabı = 2! şeklinde 3 Tarih kitabı = 3! Şeklinde sıralanır. MMMM EE TTT Burada Matematik, Edebiyat ve Tarih kitapları birer kitap gibi düşünülür; böyle olunca; 3! Şeklinde de bunlar sıralanır. Öyleyse; 3! . (5! . 2! . 3!) = 8640 olur. Cevap : D Soru 4: Bir torbada 6 kırmızı, 4 mavi, 5 yeşil top vardır.Torbadan rastgele çekilen 1 topun yeşil olmaması olasılığı kaçtır? (1997 FL) A) 1 B) 1 C) 2 D) 3 Çözüm : P(A) = s(A) ve P(A) + P(A’) P(Y) = 5 = 1 P(Y) + P(Y’) = 1 olduğundan; 1 P(Y’) = 1 P(Y’) = 1- 1 = 2 olur. Cevap : C Soru 5: n bir doğal sayı olmak üzere; (n-1)! + n! + (n+1)! işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? (1997 FL) A) n+1 B) 2n C) n+1 D) n-1 Çözüm : = (n-1)! + n . (n-1)! + (n+1) . n . (n-1)! = (n-1)! [1 + n + (n + 1)! . n] = 1 + n + n + n = n + 2n + 1 = (n + 1) = n + 1 olur. Cevap : A Soru 6: P(n;4) = 5P(n;3) ise, n’in değeri kaçtır? (1997 FL) A) 3 B) 4 C) 8 D) 10 Çözüm : n! = 5. n! 1! = 5 1 = 5 n-3 = 5 n = 8 olur. Cevap : C

30-05-07, 22:47	#2 (permalink)
DOSTANE ...::HUZUR İSLAM'DA::... Giriş Tarihi: 07-05-2006 Yer: ▓▒ т σ к α т ▒▓ Mesajlar: 7,720 Rep Puanı: 14278467 Rep Gücü: 142888	C: :_.._:\|Permutasyon VE olasılık \|:_.._: Teşekkürler ellerine sağlık

04-06-07, 17:00	#3 (permalink)
giyotan Denizcilik & Capoeira Giriş Tarihi: 28-09-2006 Yer: İstanbul Yaş: 17 Mesajlar: 4,100 Blog Mesajları: 1 Rep Puanı: 6435101 Rep Gücü: 64414	C: :_.._:\|Permutasyon VE olasılık \|:_.._: teşekküler... işime yaricak..

04-06-07, 17:37	#4 (permalink)
Aaron Moderatör Giriş Tarihi: 24-09-2005 Yer: Isparta Mesajlar: 27,588 Blog Mesajları: 2 Rep Puanı: 65041992 Rep Gücü: 650728	C: :_.._:\|Permutasyon VE olasılık \|:_.._: Eline sağlık

05-06-07, 21:02	#5 (permalink)
█►αℓмıяαтα◄█ R.İ.P Tupac \| ♫ Uzman ♫ \| Giriş Tarihi: 12-04-2007 Yer: ██ ♣ αℓмıяαтα ♣ ██ Mesajlar: 7,167 Blog Mesajları: 1 Rep Puanı: 38264458 Rep Gücü: 382731	C: :_.._:\|Permutasyon VE olasılık \|:_.._: paylaŞimin IÇin Tesekkur Ederim..

Konu Araçları
Çıktı Görüntüsünü Göster Sayfayı E-posta İle Yolla