SOYUT MATEMATİK ÖDEV

Ödevler :
1. | P(A) | = 2n’dirin ispatı
2. Peona Aksiyomları
3. Tam sayılar kümesinin inşâsı


| P(A) | = 2n’dirin ispatı

Teorem : A n- elemanlı bir küme olsun.
| P(A) | = 2n ‘ dır.
Tanım : Bir A kümesinin tüm alt kümelerinin ailesine A kümesinin kuvvet kümesi denir ve 2A veya p(A) şeklinde yazılır.

İspat I.
X  A  X є P(A)
n – elemanlı bir kümenin k (k  n) elemanlı alt kümelerinin sayısı ( n ) ,tüm alt kümelerinin sayısı da; k
n
∑ ( n ) = 2n olur.
k=0 k


Bir elemanlı alt kümelerin sayısı ( n ),
1
İki “ “ “ “ ( n ),
2
•
•
•

n “ “ “ “ ( n ),
n

Buna göre n – elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı ,

1 + ( n ) + ( n ) + ...........................+ (n ) = n
1 2 n ∑ ( n )
k=0 k
olur..Ayrıca ,

n
(a+b)n = ∑ ( n ) an-k . bk
k=0 k

binom formülünde a=b=1 alınırsa ;


n
2n = ∑ ( n ) bulunur.
k=0 k


( n ) = ( n ) = 1
0 n

( n ) = ( n ) = 0
1 n-1

( n ) = ( n )
r n-r

( n ) = ( n )  r = p veya r + p = n
r p

( n ) = ( n ) = ( n+1)
r=1 r r

( n ) + ( n ) + .......................... ( n ) = 2n dir.
0 1 n

Sonlu sayıda elemanı olan bir A kümesinin eleman sayısını s(A) ile gösterirsek aşağıdaki sayısal eşitliği elde ederiz:

s ( 2A ) = 2s(A)

PEONA AKSİYOMLARI

Eşyayı sayarken doğal sayıları kullanırız,bu şekilde sayılabilecek şeylerin ne olduğunu deneme gösteriyor: nesneler birbirine karışmamalı, dağılmamalı
Doğal sayıların iyi bilinen özellikleri olduğu için bunlar işimize yarar.Bu sayıları,başka özellikleri elde etmeye yeter bir takım özellikleri ile aksiyomatik olarak tarif edebiliriz.(Bu aksiyomların seçiminde herhangi bir serbestlik daha başka aksiyomatik açıklamalara imkan vereceğine işaret etmek yerinde olur.)

Fakat N’yi kesinlikle tanıtan aksiyomlar sistemini bilmek önemlidir:
Peona’ın ,aksiyomlar sistemi (PEONA AKSİYOMLARI)

N’yi doğal sayılar cümlesi ,elemanları Dedekind-Peona Aksiyomları adı verilen aşağıdaki aksiyomları gerçekleyen bir cümledir.

Yani N,aşağıdaki şartlarla inşa edilir.
Pastölat I : 1 є N  1 ,bir doğal sayıdır.
Pastölat II : Her n doğal sayısına n’nın ardışığı diyeceğimiz ve n* ile göstereceğimiz ,tamamen belirli bir doğal sayı karşı gelir.
Pastölat III:
1,hiçbir doğal sayının ardışığı değildir,yani her n doğal sayısı n*1 dir.
Benzer şekilde,
1 ile gösterilen bir elemandan önce gelen eleman yoktur,)yani ardışığı 1 olan bir eleman yoktur.)
Pastölat IV:
Eğer m,n є N ve m*=n* ise m=n dir.


Pastölat V:
Bir takım doğal sayılardan oluşan bir küme,1 doğal sayısını ve her n doğal sayısı ile birlikte onun ardışığını da içerirse,bu küme N ile çakışır.
(Yani ,
a) 1 є K
b) Vn,n є k  n* є k
sağlayan her KN alt kümesi N nin kendisidir.)
Bu sonuncu aksinom,N nin incelenmesinde temel bir araç alan kayıtım yolu ile muhakemeyi doğrular.
N,doğal sayılar kümesini kümesini belirten başka aksiyom sistemleri de avrdır.N de ,iyi düzen aksiyomu,toplama,sıra bağıntısı,çarpma ....

TAM SAYILARIN İNŞASI

Matematikte karşımıza çıkabilecek bütün problemleri doğal sayılar ile çözmek mümkün değildir.Örneğin; x + 2 = 1 denkleminin doğal sayılar kümesinde bir çözümü yoktur.Başka bir deyişle bu denklemin kökü bir doğal sayı değildir.Çünkü x yerine 1,2,3 sayılarından hangisini koyarsak koyalım,denklem sağlanmaz.Bu sebeple doğal sayılar kümesi , m ve n doğal sayılar olmak üzere,
x + m = n
tipindeki denklemlerin köklerini ihtiva edecek şekilde genişletilmiş ve tamsayılar kümesi denilen,
Z={ ......... –3,-2,-1,0,1,2,3,.............}
Kümesi elde edilmiştir.Demek ki tamsayılar kümesi doğal sayıların negatifleri ile sıfırın katılmasıyla elde edilmiştir.
Simetrileştirme denilen bir nevi ikiye ayırma ile sıfırla beraber pozitif ve negatif tamlar tamsayılar kümesini teşkil etmektedir.Kullanılan bu yöntemle N nin simetrileştirme yolu ile genişletilmesi denir.
Doğal sayıların inşası ancak a,b den büyük olduğu zaman b + d = a denkleminin çözümüne imkan verir.Bu şart elde edilmeden kümenin hiçbir sayısı verilen denklemi sağlamaz.
İşte bu genişletme yolu ile elde ettiğimiz pozitif,negatif veya sıfır tamlar kümesi bu sınırlayıcı şartı ortadan kaldırmakta ve bu kümede a,b ne olursa olsun daima d farkını bulundurmaktadır.

N x N = {(a,b) | a,b є N } kümesinde şöyle bir “ ~ “ bağıntısını tanımlayalım :

(a,b) ~ (c,d)  a+d = b+c

Teorem 1 . Yukarıdaki şekilde tanımlanan “ ~ “ bağıntısı ,NxN kümesinde bir denklik bağıntısıdır.
İspat :
1. (a,b) ~ (a,b) dir .Çünkü a+b = b+a dır
2. (a,b) ~ (c,d) ise (c,d) ~ (a,b) dir.(a,b) ~ (c,d) olduğundan a+d = b+c dir .Buradan c+b = d+ a elde edilir,yani (c,d) ~ (a,b) dir.
Şu halde “~ “ bağıntısı,gerçekten bir denklik bağıntısıdır.” ~ ” bağıntısının NxN cümlesinde belirttiği sınıflara ayrılışta (a,b) nin ait olduğu sınıfı [(a,b)] ile gösterelim.
Tanım 2 . [(a,b)] denklik sınıflarına tam sayılar , bunlardan oluşan kümeye de tam sayılar kümesi denir.
Tanım 3 . (a,b) ~ (c,d) ise [(a,b)] sınıfı [(c,d)] sınıfına eşittir ve [(a,b) = (c,d)] yazılır.
Teorem 4. [(a,b)] ve [(c,d)] verildiğine göre , (a’,b’) ~ (a,b) ve (c’,d’) ~ (c,d) ise (a’+c’,b’+d’) ~ (a+c,b+d) d,r.
Tanım 5 . Teorem 4 e göre [(a,b)] ve [(c,d)] sınıflarının verilmesiyle tek olarak belirlenen [(a+c,b+d)] sınıfına [(a,b)] ve [(c,d)] sınıflarının (bu sıradaki) toplamı denir ve [(a+c,b+d)] = [(a,b),(c,d)] yazılır.
Teorem 6 . [(a,b)] ve [(c,d)] verildiğine göre ,(a’,b’) ~ (a,b) ve (c’,d’) ~ (c,d) ise (a’c’+b’d’,a’d’+b’c’) ~(ac+bd,ad+bc) dir.
Tanım 7. Teorem 6 ya göre [(a,b)] ve [(c,d)] sınıflarının verilmesiyle tek olarak belirlenen [ (ac+bd,ad+bc) ] sınıfına [(a,b)] ve [(c,d)] sınıfının (bu sıradaki) çarpımı denir ve [ (ac+bd,ad+bc) ] = [ (a,b) ] . [ (c,d) ] yazılır.
Teorem 8. [(a,b)] ve [(c,d)] verildiğine göre ,a+d<b+c ise (a’,b’) ~ (a,b) , (c’,d’) ~ (c,d) olması halinde a’+d’< b’+c’ dir.
Tanım 9 . [(a,b)] ve [(c,d)] sınıfları verildiğine göre,a+d<b+c ise [(a,b)] sınıfı, [(c,d)] sınıfından küçüktür denir ve [(a,b)] < [(c,d)] yazılır.
Teorem 10 .  ve  önceden verilmiş herhangi iki tamsayı olduğuna göre ,  + ﻻ =  olacak şekilde bir ve bir tek ﻻ tamsayısı vardır.
Tanım 11 . Teorem 10’a göre  ve  tamsayılarının verilmesiyle tek olarak belirlenen ﻻ tamsayısına  nın a’dan farkı denir ve bu tamsayı , ﻻ =  -  şeklinde gösterilir.
Teorem 12. Bir (a,b) doğal sayı çiftinde a<b ,a = b ve a>b ise (a’,b’) ~((a,b) koşuluna uyan her (a’,b’) çiftinde de sırasıyla a’<b’,a’=b’,a’>b’ dür.
Sonuç13. Herhangi bir a tamsayısının her (a,b) temsilcisinde ya daima a<b ,ya daima a=b ,yahut daima a>b die ve bu üç halden biri ve yalnız biri geçerlidir.
Teorem 14. a=b koşuluna uyan bir ve bir tek a = [(a,b)] tamsayısı vardır.
Tanım15. Teorem 14 e göre tek olarak belirlenen [ (a,a) ] tamsayısına sıfır denir ve bu tamsayı ,”0” ile gösterilir.
Teorem 16. Her tamsayısı için a+0 = a dır.
Sonuç 17. 0 sayısı ,a sayısı ne olursa olsun, a+ﻻ= a nın tek çözümü olarak karakterize edilebilir.
Tanım 18 . a herhangi bir tamsayı olmak üzere , a+ﻻ= 0 denkleminin Teorem 10’a göre tek türlü belirli olan ﻻ= 0 – a çözümü,kısaca –a ile gösterilir ve –a tamsayısına a’nın zıddı denir.
Sonuç 13 ‘e göre tamsayılar kümesi,şu şekilde üç sınıfa ayrılabilir:
M1 : a>b koşuluna uyan bütün [(a,b)] tam sayılarından oluşan alt küme,
M2 : a=b koşuluna uyan bütün [(a,b)] tam sayılarından oluşan alt küme (Teorem 14 ve tanım 15 ‘e göre bu alt küme ,yalnızca 0 ‘dan oluşur.)
M3 : a<b koşuluna uyan bütün [(a,b)] tam sayılarından oluşan alt küme,
Teorem19 . M1 kümesi,
f : [ (a,b)] → a-b
Tasviri yardımıyla N üzerine (1-1) olarak resmedilir.Bu tasvir sırayı, toplam ve çarpımı korur.

Teorem 20 . M3 cümlesi,
g : [ (a,b)] → b-a
Tasviri yardımıyla N üzerine (1-1) olarak resmedilir.Bu tasvir,sırayı tersine çevirir ve toplamı korur.

Tanım 21 .
M1 cümlesindeki tamsayılara pozitif tam sayılar, M3 cümlesindeki tamsayılara ise negatif tamsayılar denir.

Sonuç 22.
Herhangi bir tamsayı ya sıfırdır,ya bir pozitif tamsayıdır,yahut bir negatif tam sayıdır.
Tanım 23 .

Her pozitif tamsayı ,Teorem 19 ‘a göre kendisine karşı gelen tek bir k=a-b doğal sayısı ile belirlendiğinden ,böyle bir tamsayıyı bundan sonra k+ işaretiyle göstereceğiz.Benzer şekilde her negatif tamsayıyı ,Teorem 20’ye göre kendisine karşı gelen bir l=b-a doğal sayısı ile belirlendiğinden,böyle bir tam sayıyı da I- işaretiyle göstereceğiz.

Bundan böyle tamsayılar kümesini Z ,bunun pozitif tam sayılardan oluşan alt kümesini Z+ ,negatif tam sayılardan oluşan alt kümesini Z- ile göstereceğiz.Buna göre ,
Z= Z+ U {0} U Z- olup, Z+∩ Z- = O ,0 є Z+ , 0 є Z- dir.

Teorem 24 .

1. Bir tam sayının Z+ ya ait olabilmesi için gerek ve yeter koşul ,a>0 olmasıdır.
2. Bir a tam sayısının Z- ye ait olabilmesi için gerek ve yeter şart,a<0 olmasıdır.

Teorem 25  ve  herhangi iki tam sayı olsun.

1.  >    -    -  є Z+
2.  =    -  = 0   -  = 0
3.  <    -    -  є Z-

Teorem 26 .
a= k+ ise –a=k-, a= k- ise –a=k+ ve a=0 ise –a=0 dir.

Teorem 27. Her tam sayı,iki pozitif tam sayının farkı olarak gösterilebilir.

Teorem 28
a tamsayısının Teorem 27 deki gösterilişi tek türlü değildir.Çünkü (c,d),[(a,b)] sınıfının başka bir temsilcisi ise ,yani (c,d) ~ (a,b) ise a tamsayısı a=c+-d+ şeklinde gösterilebilir.





İki tam sayının çarpımında işaretler kuralı

Teorem 29.  ve  herhangi iki tam sayı olmak üzere,
1. =0 ise .=0,
2. =0 ise .=0,
3. >0, >0 ise .>0,
4. <0, <0 ise .<0,
5. >0, >0 ise .<0,
6. <0, <0 ise .>0 dır.

Sonuç 30 .  ve  herhangi iki tam sayı olduğuna göre , .=0 olabilmesi için gerek ve yeter şart ,  ve  dan en az birinin sıfıra eşit olmasıdır.

Teorem 31 .  ,  herhangi iki tam sayı ve < olsun.
O zaman ,
1. ﻻ > 0 ise ﻻ < ﻻ
2. ﻻ < 0 ise ﻻ >ﻻ
3. ﻻ =0 ise ﻻ = ﻻ dır.



Teorem 32 . Her a tam sayısı için a.e=a olacak şekilde bir ve bir tek e tam sayısı vardır.

e> 0 ve e  0 dır.

Teorem 33.Tam sayılar kümesinin boş olmayan ve alttan sınırlı her alt kümesinin bir en küçük elemanı vardır.

Teorem 34 .Tam sayılar kümesinin boş olmayan ve üstten sınırlı her alt kümesinin bir en büyük elemanı vardır.
Teorem 19 ‘a göre Z+ yı N üzerine (1 – 1 ) olarak resmeden ve sırayı,toplamı ve çarpımı koruyan bir tasvir kurulabildiğinden ,doğal sayıların bazı temel özellikleri ,pozitif tam sayılar tarafından da gerçeklenir.Bundan dolayı artık Z+ ile N arasında fark gözetmeden ve k+ yerine yalnızca k yazacağız.Buna uygun olarak ,k-=-k+ olduğundan k- yerine – k yazacağız.(e= [(m+1,m)] = 1+ olduğundan bu notasyonda e,1 ile gösterilir.) Şu halde tam sayıları bundan böyle

......,-n., .....,-2,-2,0,1,2,......,n,....... şeklinde göstereceğiz.