P!iz ♪

BİR TOPOLOJİSTİN ALFABEYE BAKIŞI

Topolojinin temel problemi: homeomorfizma adlı yazıda da bahsettiğimiz üzere homeomorfizma, elimize alacağımız bir oyun hamurunu koparmadan ya da yeni hamur parçaları eklemeden sadece eğip bükerek, çekip uzatarak yeni şekil almasını sağladığımız bir çalışmadır. Matematiksel olarak, iki uzay arasındaki sürekli, bijektif (1-1 ve örten) ve tersi de sürekli olan fonksiyon ile tanımlandığını yine aynı yazıda belirtmiştik. Bazen iki uzayın homeomorf olduğunu araştırırken, homeomorfizmayı tanımlamak zor olabilir. Bu yüzden homeomorfizmadan daha zayıf bir bağıntı olan homotopi bağıntısı tanımlanmıştır. Homotopi, iki sürekli fonksiyondan birinden diğerine sürekli bir dönüşüm ile geçmeyi sağlar. Ve oluşturulan homotopi grupları ile şu teoreme ulaşılır:

İki uzay homeomorf ise homotopi grupları izomorftur.

Bu teoremin dengi olan “homotopi grupları izomorf değil ise iki uzay homeomorf değildir” önermesini düşünecek olursak, homotopi grupları yardımı ile iki uzayın homeomorf olmadığını kolayca belirleyebiliriz.

Homotopinin işleyişine bir örnek vermek istersek, R' deki sabit fonksiyon ile birim fonksiyonu alabiliriz. İki fonksiyonun da sürekli olduğunu analiz derslerimizden biliyoruz. Bu iki sürekli fonksiyonun grafiklerini birbirine; yırtmadan, nokta koparmadan dönüştürmek için aralarında sürekli bir dönüşüm tanımlamalıyız. R konveks olduğundan aradaki bu dönüşümü
, H(x,t)=(1-t).1(x)+t.c(x) şeklindeki sürekli bir fonksiyonla tanımlayabiliriz. (Burada 1(x) birim ve c(x) sabit fonksiyondur.)

Burada I uzayı, 1(x) fonksiyonumuzun anında nerede olduğunu belirlemek için alınmaktadır. Ve birim fonksiyondan başlayarak (t=0 anı başlangıç anı), sabit fonksiyonda bozunmaya son verdiğimize göre (t=1 anı bitiş anı) H dönüşümü;

H(x,0)=1(x) ve H(1,x)=c(x) şartlarını sağlamalıdır - ki gerçekten bu, yukarıdaki gibi tanımlanan H fonksiyonu için sağlanmaktadır.

(Buradaki H fonksiyonuna homotopi fonksiyonu denir. Birim ve sabit fonksiyona da birbirine homotoptur denir.)
Artık H dönüşümü ile birim fonksiyonumuzu sürekli bir bozunma ile sabit bir noktaya dönüştürmüş (büzmüş) olduk.

Homotopi ile homeomorfizma arasındaki bağlantıyı geometrik olarak, bize en iyi alfabenin harfleri anlatacaktır. Buna göre aşağıdaki iki şekilden birincisi birbirine homeomorf olan harfleri, ikincisi ise birbirine homotop olan harfleri vermektedir.