arkadaşlar integral dönem ödevi bildiğiniz ücretsiz bir site veya elinizde bir integral ödevi olanınız varsa paylaşırsa benden bir rep birde hayır duası kazanmış olur.saygılar...

ben bu kadar bulabildim yardımcı olduysam ne mutlu bana

__________________________


Türevi belli olan bir fonksiyonu bulmak için yaptığımız işleme integral alma veya ilkel fonksiyonu denir.


TANIM: f :[a, b] R, F : [a, b] R tanımlı ve türevlenebilir iki fonksiyon olsun.
Her x Є (a, b) için, F’(x) = f(x) ise F(x) fonksiyonuna f(x) fonksiyonunun ilkeli veya belirsiz integrali denir. Bunu, C Є R olmak üzere,

F’(x) = f(x) ſ f(x) dx = F(x)+C

Biçiminde gösterilir. ſ f(x) dx ifadesini, “integral f(x) dx” diye okuruz.

Kısaca, ſ f(x) dx demek, türevi f(x) olan F(x) fonksiyonunu bulmak demektir.
ſ f(x) dx = F(x)+C ifadesindeki;

- f(x) fonksiyonuna integrand,
- F(x) fonksiyonunun bulunması işlemine integrasyon işlemi,
- C reel sayısına da integrasyon sabiti denir. Bir fonksiyonda, sabit terimin türevi sıfır olduğundan, integral alınırken bu sabit terimi bilemeyiz.
- ſ f(x) dx ifadesindeki dx ise, integrasyonyn değişkeninin x olduğunu belirtir.

TEOREM: Bir fonksiyonun diferansiyelinin integrali, bu fonksiyona sabit eklenerek bulunur.

ſ d( f(x) ) = f(x)+C dir.


TEOREM: Bir fonksiyonun bir sabitle çarpımının integrali, o fonksiyonun integralinin sabitle çarpımına eşittir.
Yani, integral içindeki sabit çarpan, integral dışına alınabilir.

Her a Є R için, ſ a . f(x) dx = a . ſ f(x) dx dir.

TEOREM: İki fonksiyonun veya farkının integrali, bu fonksiyonların integrallerinin toplamına veya farkına eşittir.

ſ[f(x) + g(x)] dx = ſ f(x) dx + ſ g(x) dx ,
ſ[f(x) - g(x)] dx = ſ f(x) dx - ſg(x) dx tir.


1) ſ a dx = ax + C , (a Є R )
2) ſ xⁿ dx = (xⁿ ¹/n+1) + C , (n = -1)
3) ſ ( 1/x) dx = ln |x| +C
4) ſ eª da = eª + C
5) ſ eª da = (eª / ln e) + C , (a Є R’ –{1})
6) ſ sinx dx = -cosx + C
7) ſ cosx dx = -sinx + C
8) ſ (1 / cos²x) dx = ſ(1+tan²x) dx =ſsec²x dx = tanx + C
9) ſ (1 / sin²x) dx = ſ (1+cot²x) dx = ſcosec²x dx = -cotx + C
10) ſ (1 / 1 - x² ) dx = arc sinx + C = -arc cosx + C
11) ſ( 1 / 1+x² ) dx = arc tanx + C = -arc cotx + C

Yukarıdaki eşitliklerin doğruluğunu gösterebilmek için, sağ taraftaki fonksiyonların türevlerini alarak, integrali alınan fonksiyonu elde ederiz.

İntegrali alınacak fonksiyonun, hangi fonksiyonun türevi olduğunu görmek, her zaman pek mümkün olmaz. Bunun için, bazı integral alma yöntemleri oluşturulmuştur.

f, g, fog ve g’ fonksiyonları, bir [a, b] aralığında sürekli fonksiyonlar olsun

ſ f(g(x)).g’(x) dx

biçimindeki integralleri hesaplamak için, u = g(x) dönüşümü yapılır ve her iki tarafın diferansiyeli alınırsa, du = g’(x) dx elde edilir. Bu durumda integral,

ſf(g)).g’(x) = ſ f(u) du

biçimine dönüşür. ſ f(u) du ifadesinin, u değişkenine göre integrali alındıktan sonra, u yerine g(x) yazılarak, sonuç x değişkenine göre bulunmuş olur.

* ſ [f(x)]ⁿ . f’8x) dx ifadesinde olduğu gibi, kuvveti alınan fonksiyonun türevini aldığımızda, yanındaki çarpanı elde edebiliyorsak, bu ifadenin integralini kısaca;

ſ[f(x)]ⁿ . f’(x) dx = {[f(x)]ⁿ´¹ / n+1} + C (n = -1)
biçiminde alabiliriz.



1. ſ {f´(x) / f (x) = ln |f (x)| + C
2. ſ eª . f´(x) dx = eª + C ( a = f(x))
3. ſ eª . f´(x) dx = {eª / ln e} + C (a = f(x))

Bu eşitliklerin, sağ tarafındaki ifadelerin türevlari alındığında, integrali alınacak ifade elde edilir.


1. ſ sin(f(x)) . f´(x) dx = -cos f(x) + C
2. ſ cos (f(x)) . f’(x) dx = sin f(x) + C
3. ſ{f’(x) / cos²f(x)} dx = tan f(x) + C
4. ſ{f’(x) / sin²f(x)} dx = -cot f(x) + C
5. ſsin(ax + b) dx = (-1 / a) cos(ax + b) + C (a = 0)
6. ſcos(ax + b) dx = (1 / a) sin(ax + b) + C (a = 0)
7. ſ{dx / cos²(ax + b) dx = (1 / a) tan (ax + b) + C (a = 0)
8. ſ{dx / sin²(ax + b) dx = (-1 / a) cot (ax + b) + C (a = 0)
9. ſcot (ax + b) dx = ſ{cos (ax + b) / sin (ax + b) dx = (1 / a) ln |sin(ax + b)| + C

Yukarıdaki eşitliklerde, sağ taraftaki fonksiyonların türevlvri alındığında, integrali alınan fonksiyon elde edilir.


İki fonksiyonun çarpımının integralinin hesaplanmasında genelde, kısmi integrasyon yöntemi kullanılır.
u ve v fonksiyonları, bir (a,b) aralığında türevlene bilen fonksiyonlar ise, u, v fonksiyonu da (a, b) aralığında türevlidir.

{(d / dx)(u . v)} = {(du v / dx) + (dv u / dx) olduğundan,

d(u . v) = v du + u dv ve
u dv = d(u . v) – v du olur.
Bu eşitliğin her iki yanının integralini alırsak;
ſ u dv = u . v - ſ v du olur.
Bu yöntemle integral almaya, kısmi integrasyon yöntemi denir.



P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere, {P(x) / Q(x)}, (Q(x) = 0) biçimindeki fonksiyonlar, rasyonel fonksiyonlardır. Basit kesirlerine ayrılabilen rasyonel fonksiyonların integralleri şu şekilde bulunur:

a, b, c, A, B Є R ve n Є N olsun. (A / (ax + b)ⁿ) ve Δ< 0 olmak üzere,
{Ax + B / (ax² + bx + c)ⁿ biçimindeki ifadelere basit kesir denir. {P(x) / Q(x)}rasyonel ifadesi, basit kesirlerin tplamı biçiminde yazılabiliyorsa, yapılan işleme; basit kesirlere ayırma denir.
Rasyonel ifadelerin integralinin hesaplanmasında 2 yöntem vardır.

A. P(x) in Derecesi, Q(x) in Derecesinden Küçük ise
Bu durumda, aşağıdaki yollar izlenir:
a) {P(x) / Q(x)) rasyonel ifadesinin paydası olan Q(x),
Q(x) = (a x + b )(a x + b)…(a x + b) biçiminde r tane çarpandan oluşuyorsa, bu ifade:
{P(x) / Q(x)} = {A / a x + b} + {A / a x + b}+….+{A / a x +b} şeklinde basit kesirlerin toplamı olarak yazılır. Polinomların eşitliğinden yararlanılarak; A , A , ….., A değerleri bulunur ve sonrada integral alınır.

B. P(x) in Derecesi, Q(x) in Derecesinden büyük veya eşit ise
Bu durumda, P(x) polinomu Q(x) polinomuna bölünür. P(x) in Q(x) e bölünmesinden bulunan bölüm B(x) ve kalan K(x) ise,
{P(x) / Q(x)} = B(x) + {K(x) / Q(x)} biçiminde yazılır ve bu ifadenin integrali alınınr.


Bazı trigonometrik ifadelerin integralleri alınırken, ayşağıda verilen trigonometrik özdeşliklerden yararlanılır.

1. sin²x +cos²x = 1 sin²x = 1 -cos²x veya cos²x = 1 -sin²x tir.

2. sin2x = 2sinx . cosx sinx . cosx = (sin2x / 2) dir.

3. cos2x = cos²x – sin²x veya cos2x = 2cos²x – 1 cos²x = {1+cos2x / 2} veya

cos2x = 1 – 2sin²x sin²x = {1 – cos2x / 2 } dir.



n Tek Doğal Sayı ise ſ sinⁿx dx veya ſ cosⁿx dx Biçiminde Verilen İntegralleri Hesaplama
ſ sinⁿ dx = ſ sinⁿ־¹x .sinx dx veya ſ cosⁿ dx = ſ cosⁿ־¹x .cosx dx biçiminde yazılır. Daha sonra, sin²x = 1 - cos²x veya cos²x = sin²x özdeşlikleri yazılarak integral alınır.




n Çift Doğal Sayı ise ſsinⁿ dx veya ſ cosⁿx dx Biçiminde Verilen İntegrallerin Hesaplanması

ſsinⁿx dx = ſ(sin²x)ⁿ´² dx veya ſcosⁿx dx = ſ(cos²x)ⁿ´² dx yazılır.
Daha sonra, sin²x = (1 – cos2x / 2) veya cos²x = (1 + cos2x / 2) özdeşlikleri yazılarak integrali alınır.

Bende Bunları Buldum


İntegral en genel anlamıyla bir [Linkleri sadece kayıtlı üyelerimiz görebilir.ForumTR üyesi olmak için tıklayınız] (fonksiyon) eğrisinin altında kalan alanı anlatır ya da başka bir deyişle işlevin türevinin tersi olan bir işlev elde edilmesini sağlar. İntegralin diğer bir tanımı da verilen bir f(x) işlevini türev kabul eden F(x) fonksiyonunun bulunması olarak yapılabilir. F(x) işlevine f(x) işlevinin integrali veya ilkeli denir. İntegral, toplam kelimesinin (sum) baş harfi olan ∫ işareti ile gösterilir. Bu gösterim [Linkleri sadece kayıtlı üyelerimiz görebilir.ForumTR üyesi olmak için tıklayınız] tarafından tanımlanmıştır.

C bir sabiti gösterir ve integralin bir sabit farkı ile bulunabileceğine işaret eder.
Bir eksen takımında gösterilen f(x) işlevinin altında kalan a < x < b aralığındaki alan, integral yardımıyla hesaplanabilir. Bu amaçla alan küçük dikdörtgenlere bölünerek, bunların alanı hesap edilip toplanır. Dikdörtgen sayısı arttıkça toplam eğri altındaki alan, alanın değerine yaklaşır ve integralin tam değeri bulunmuş olur. Bu toplama [Linkleri sadece kayıtlı üyelerimiz görebilir.ForumTR üyesi olmak için tıklayınız] denir. İntegralin Riemann anlamındaki tanımı [Linkleri sadece kayıtlı üyelerimiz görebilir.ForumTR üyesi olmak için tıklayınız] bölüntü sayısı olan n in bir limit içerisinde sonsuza götürülmesiyle elde edilir.

Bu şekildeki integral belirli sınırlar arasında hesaplandığı için, belirli İntegral olarak isimlendirilir. Sınırlar göz önüne alınmadan hesaplanan integrale ise belirsiz integral denir. Bazı durumlarda f(x) işlevinin integrali F(x) bulunamaz. Bu durumda belirli integral sayısal olarak hesaplanır.
Uzunluk, alan ve hacimlerin hesaplanmasında integral hesabın önemli yeri vardır. Birden fazla değişkene bağlı fonksiyonlarda integral kavramı genişletilebilir ve bu durumda katlı integraller ortaya çıkar.
[Linkleri sadece kayıtlı üyelerimiz görebilir.ForumTR üyesi olmak için tıklayınız]‘dan sonra soyut kümelerin de integrallenebilmesi amacıyla [Linkleri sadece kayıtlı üyelerimiz görebilir.ForumTR üyesi olmak için tıklayınız] integrali geliştirilmiştir.
Temel işlevlerin integralleri için [Linkleri sadece kayıtlı üyelerimiz görebilir.ForumTR üyesi olmak için tıklayınız]‘na bakılablir


Umarım Yardımcı OLabilmişimdir.

saolun arkadaşlar

İntegral en genel anlamıyla bir gönderme (fonksiyon) eğrisinin altında kalan alanı anlatır ya da başka bir deyişle göndermenin türevinin tersi olan bir gönderme elde edilmesini sağlar. İntegralin diğer bir tanımı da verilen bir f(x) göndermesini türev kabul eden F(x) fonksiyonunun bulunması olarak yapılabilir. F(x) göndermesine f(x) göndermesinin integrali veya ilkeli denir. İntegral, toplam kelimesinin (sum) baş harfi s'nin biraz evrim geçirmiş hali olan ∫ işareti ile gösterilir. Bu gösterim Leibniz tarafından tanımlanmıştır.

F(x) = \int f(x)\,dx + C

C bir sabiti gösterir ve integralin bir sabit farkı ile bulunabileceğine işaret eder.

Bir eksen takımında gösterilen f(x) göndermesinin altında kalan a < x < b aralığındaki alan, integral yardımıyla hesaplanabilir. Bu amaçla alan küçük dikdörtgenlere bölünerek, bunların alanı hesap edilip toplanır. Dikdörtgen sayısı arttıkça toplam eğri altındaki alan, alanın değerine yaklaşır ve integralin tam değeri bulunmuş olur. Bu toplama Riemann toplamı denir. İntegralin Riemann anlamındaki tanımı Riemann toplamındaki bölüntü sayısı olan n nin bir limit içerisinde sonsuza götürülmesiyle elde edilir.

S = \lim_{\Delta x \to 0}\sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x_{i} = \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)

Bu şekildeki integral belirli sınırlar arasında hesaplandığı için, belirli İntegral olarak isimlendirilir. Sınırlar göz önüne alınmadan hesaplanan integrale ise belirsiz integral denir. Bazı durumlarda f(x) göndermesinin integrali F(x) bulunamaz. Bu durumda belirli integral sayısal olarak hesaplanır.

Uzunluk, alan ve hacimlerin hesaplanmasında integral hesabın önemli yeri vardır. Birden fazla değişkene bağlı fonksiyonlarda integral kavramı genişletilebilir ve bu durumda katlı integraller ortaya çıkar.

Riemann'dan sonra soyut kümelerin de integrallenebilmesi amacıyla Lebesgue integrali geliştirilmiştir.

* Temel göndermelerin integralleri için İntegral Tablosu'na bakılablir.





----



Matematik (Osmanlıca: Riyaziye, Yeni Türkçe Karşılıklar: Uzbilim), yapıların biçimlerini, değişimi ve uzamı inceleyen bilim dalıdır. Daha genel tanımıyla nicelik ve zaman ile ilgili simgeleri (ya da temsili nesneleri) inceler. Formalist bakış açısına göre belitsel (aksiyomatik) olarak tanımlanmış soyut yapıların mantık ve matematiksel notasyon kullanılarak araştırılmasıdır. Diğer bakış açıları Matematik Felsefesi'nde bulunabilir.

Matematikçiler tarafından incelenen bazı yapılar, doğa bilimlerinden özellikle fizikten kaynaklanıyor olabilir. Bununla birlikte matematikçiler, örneğin bazı alt alanları birleştirici bir genelleme veya ortak hesaplar için yararlı bir araç oldukları için tamamen matematiğe ait yapılar da tanımlar ve araştırırlar. Bir çok matematikçi matematiği bir bilimden çok sanat olarak görerek araştırdıkları alanları sadece saf bir estetik kaygı ile incelerler. Matematiği bilimin dili olarak ele alıp, pozitif bilim saymayan filozoflar da vardır.