arkadaşlar matematikten dönem ödevi olarak mantık konusunu aldım yardımcı olurmusunuz

bilen yokmu arkadaşlar

Mantık Konu Anlatımı


MANTIK

Do.ru ya da yanlıİ hüküm bildiren ifadelere "önerme" denir.
Do.ruluk de.eri aynı olan önermelere denk ya da eİde.er önermeler denir. P ve q denk iki önerme ise bu denkli.ip . q biçiminde gösteririz.
Bir p önermesinin sonuna "de.il" kelimesi getirerek hükmünün olumsuz yapılmasıyla elde edilen yeni önermeye p önermesini olumsuzu (de.ili) denir.
En az iki önermenin "veya" , "ve" , "ise" , "ancak ve ancak" gibi ba.laçlardan en az birisi ile birleİtirilmesiyle elde edilen yeni önermelere "bileİik önermeler" denir.
P ile q önermelerinden oluİan "p v q" bileİik önermesi, p ile q önermelerinden az biri do.ru iken do.ru, p ile q önermelerinden her ikisi de yanlıİ iken yanlıİtır.
p ve q önermelerinden oluİan "p . q" bileİik önermesi , p ile q önermelerinden her ikisi do.ru iken do.ru , di.er durumlarda yanlıİtır.
. ve . Ba.laçlarına Ait Özellikler Tek Kuvvet Özelli.i
. p.p . p.p
pp
De.iİme Özelli.i
. q.q . p . q.q . p
pp

Birleİme Özelli.i
p
. (q . r) .(p . q) . r
p
. (q . r) .(p . q) . r
Da.ılma Özelli.i
a) p . (q . r) .(p . q) . (p . r)
b) (p . q) . r .(p . r) . (q . r) c) p . (q . r) .(p . q) . (p . r) d) (p . q) . r .(p . r) . (q . r)

De Morgan Kuralı
(p . q)’.p’ . q’
(p . q)’.p’ . q’
Sadeleİtirmeler
a)p e)p
. 1.p . p’.0
b) p . 1.1 f)p . p’.1
c) p . 0.0 g)p . (p . q).p
d) p . 0.p h)p . (p . q).p

Bir bileİik önermenin sonucu kendisini meydana getiren önermelerin bütün de.erleri için 1 oluyorsa, bu bileİik önermeye totoloji; 0 oluyorsa, bu bileİik önermeye çeliİki denir.
. q . q
pp

"." ba.lacı ile kurulan "p .q" bileİik önermesine "İartlı önerme" denir. p.q bileİik önermesi p nin do.ru , q nun yanlıİ oldu.u durumda yanlıİ , di.er durumlarda do.rudur.

p.q bileİik önermesi verilsin.
•
q.p bileİik önermesine p.q bileİik önermesinin karİıtı ,

•
p’.q’ bileİik önermesine p.q bileİik önermesinin tersi ,

•
q’.p’ bileİik önermesine p.q bileİik önermesinin karİıt tersi denir.
"." Ba.lacının Özellikleri a) p.q.q’.p’
b)p.q.p’ . q
c)(p.q)’.p
. q’
d)(p.(q . r)).((p.q) . (p.r))
(p.(q . r)).((p.q) . (p.r))
e)p.p.1p.0.p’
p.p’.p’ 1.p.p
0.p.1p.1.1

"." ba.lacı ile kurulan "p.q" bileİik önermesine "iki yönlü İartlı önerme" denir. p.q bileİik önermesi p ile q önermeleri aynı de.eri aldı.ında do.ru , farklı de.eri aldı.ında yanlıİtır.
"." Ba.lacının Özellikleri a) p.q.q.p
b) p.q.((p.q) . (q.p))
c) (p.q)’. p’.q. p.q’
d) p.q. p’.q’
e) p.p.1p.1.p

p.p’.0p.0.p’
Do.rulu.u nedenleri araİtırılmadan sezgi yoluyla kabul edilen matematik ifadelerine "aksiyom" denir.
p ve q önermeleri için p.q.1 ise p, q yu "gerektiriyor" denir. Bu durumda p.q bileİik önermesine gerektirme denir. p, q için yeter İart; q, p için gerek İarttır.
P ve q önermeleri için p.q.1 ise p, q yü "çift gerektiriyor" denir. Bu durumda p.q bileİik önermesine "çift gerektirme" denir. p.q gerektirmesinde p, q yu gerektirir , q da p yi gerektirir. p ve q birbirleri için gerek ve yeter İarttır.
p.q bir gerektirme olsun. Bu gerektirme de p.1 ise p.q gerektirmesine "teorem" denir. Aynı İekilde , p.q çift gerektirmesinde p.1 ise p.q çift gerektirmesine de "teorem" denir.


bunlar yeterlı mı bılmıyorum...

ÖNERMELER

Doğru yada yanlış bir hüküm bildiren,ancak aynı anda hem doğru hem yanlış olmayan ifadelere
"önerme"
denir.
Önermeler p, q, r gibi harflerle gösterilir.
Dikdörtgen Belirtme Çizgisi: A.a.ydaki ifadelerin önerme olup olmady.yny bulun.
Metin Kutusu: 1.Önerme.
2.Önerme de.il.
3.Önerme.
4.Önerme de.il.
5.Önerme.

Metin Kutusu: Çeli.kili cümleler önerme de.ildir.
Örnek: "BÜYÜK HARFLERLE YAZILMI. OLAN BU CÜMLEYANLI

optik_noktalar.jpg (18967 bytes)

ÖRNEKLER ve CEVAPLARI

Metin Kutusu:1. Bütün örümcekler 7 bacaklydyr.
2. Bütün insanlar ölümlüdür.
3. Bugün nereye gittin?.
4. Dersine za
Bulut Belirtme Çizgisi: 1. Önerme
2. Önerme
3. De.il4. De.il
5. De.il

Yatay Kaydyrma: Önerme
do.ru ise 1 sembolü ile,
yanly. ise 0 sembolü ile
ifade edilir.
Buna önermenin
do.ruluk de.eri
denir

P
P
P

Doğru
D
1

Yanlış
Y
0


Metin Kutusu: Do.ruluk de.erlerinin tüm durumlaryny gösteren tabloya do.ruluk tablosu denir.

Dikey Kaydyrma:
Sembolik i.aretler
Matemati.in yarysydyr.
Bertrand Russel

Metin Kutusu: ÖRNEKLER
ve
CEVAPLAR

Ayrylmy.: Önermelerin her birinindo.ruluk de.erini bularak1 ve 0 ile gösteriniz.

Metin Kutusu: p: "Ankara,Türkiyeninba.kentidir."
q: "Her dörtgen karedir."
r: "Ne.et Erta. Almanyalydyr."
s: "Üçgenin iç a

ı Notı

p
q
r

1

1
0

1

1
0
0

1

1
0

1

0
0
0


Yatay Kaydyrma: p ve q iki önerme olsun.
P do.ru iken
q do.ru yada yanly. olabilir.
Bunun gibi p yanly. oldu.unda
q do.ru ya

Önermelerin Denkliği

İki önermenin doğruluk değerleri aynı ise bu iki önerme denktir denir.
İki önerme denk ise p .qile gösterilir ve "p denktir q ya" diye okunur.
Metin Kutusu: En küçük asal sayy 2 dir.
En büyük negatif tamsayy -1 dir.
28 bir basamakly bir sayydyr.
En büyük do.al sayy 9

Önermenin Değili

Bir önermenin hükmü değiştirilerek oluşturulan yeni önermeye bu önermenin değilidenir. p önermesi için p nindeğili, p’ veya ~p ile gösterilir.
AŞIRI NOT: Bir önermenin değilionun zıddına tamamlanmışıdır.
Bu bilgilere göre aşağıdaki tablo oluşur

p
~p

1
0

0
1


Bazı Semboller
Değili

=
.

>
.

.
<

.
.

ÖRNEKLER ve CEVAPLARI

Önermelerin değillerinibulunuz.
•p:Bugün hava bulutludur.

•~p:Bugün hava bulutlu değildir.
Metin Kutusu:q: Bugün cumadyr.
~q: Bugün Cuma de.ildir.
r: 4+5=9
~r: 4+5?9
s: Murat futbol oynama

DeğilininDeğili

Önerme doğru ise değiliyanlıştır.Yanlış bir önermenin değiliise doğru bir önermedir.O halde bir önermenin değilinindeğilikendisine denktir.
Metin Kutusu: Örnek 5
"Ben mutlu de.ilim dersem do.ru olmaz"cümlesini en basit formda yazynyz.
Çözüm
p: "Ben mutluyum" denir

Aşağıdaki ifadelerden hangilerinin önerme olduğuna karar ver!

a)Günaydın!

b)O çok iyi futbol oynuyor.

c)İleri git!

d)8 asal sayıdır.

e)Bir haftada 7 gün vardır.
Metin Kutusu: T=2+4
Hava karlydyr.
Seni hiç kimse sevmez.
Herkes bazy insanlary sever.
x<45
x?24
2x-4y<6

Aşağıdkicümlelerin gerçek değerini bulunuz.

a)Pamuk bir hayvandır.

b)Ay bir gezegendir.

c)Dünya hareket etmez.

d)32<12+6÷2•8

e)8=24-8•2
Aşağıda verilen önerme
çiftlerinin biribirinedenk olup
olmadığını bulunuz.

a)p: Kelebek bir böcektir.
q: Gezegenler yıldızdır.
b)r: Dünyanın rotası ekseni etrafındadır.
s: Üçgenin alanı iki kenarının çarpımına eşittir.
c)t: 3<5k: (x-1)2<0
Önermelerin değillerinibulunuz.

a)Dünyanın en büyük okyanusu Pasifik okyanusudur.

b)4.3.

c)15 asaldır.

d)6 Doğal sayıdır.

e)6•2<13

f)Deniz dalgalıdır.
Metin Kutusu: g)T=2+4
h)Hava karlydyr.
i)Seni hiçkimse sevmez.
j)Herkes bazylaryny sever.
k)x<45
l)x?24
m)2x-4y<6

Bileşik Önermeler

İki yada daha çok önermeden-bağlaçlar kullanılarak-elde edilen yeni önermeye bileşik önerme denir.
Bağlaçlar
Semboller

Ve
.

Veya
.

İse
.

Ancak ve ancak
.

"."Bağlacı

p ve q önermeleri "ve " bağlacı ile bileşik önerme yapılabilir bu da p .q ile gösterilir.
örnek:
p: Hayvanlar denizde yaşar.
q:2 asal sayıdır.
Buna göre p.q: Hayvanlar denizde yaşarve2 bir asal sayıdır.
1)P.0.02)p.1.p3)p.˜p.0

p ve q iki önerme olsun.her ikisi de doğru iken doğru diğer durumlarda yanlı olan bileşik önermeye p ve q önermesi denir ve p .q ile gösterilir.
p
q
p .q

1
1
1

1
0
0

0
1
0

0
0
0

Metin Kutusu: ÖRNEKLER
ve
CEVAPLAR

Aşağıdaki önermeleri p, q, r...ile göstererek doğruluk değerlerini bulunuz.

1.Limon sarıdır ve çilek kırmızıdır.

p: Limon sarıdır. .p.1
q: Çilek kırmızıdır. .q.1
O halde p.q.1.1.1
2.Bir dikdörtgenin 4 kenarı vardır ve bir karenin 5 kenarı vardır.

p:Bir dikdörtgenin 4 kenarı vardır .p.1
q: Bir karenin 5 kenarı vardır. .q.0
olduğundan p.1ve q.0,
p.q .1 .0 .0
3.5+7=3 ve9>8

p: 5+7=3.p.0
q: 9>8 .q.1
Olduğundanp.0 veq.1, p.q0 .1 .0
4.Bir üçgenin 4 açısı ve bir dörtgenin 3 açıs vardır

p: Bir üçgenin 4 açısı vardır .p.0
q: Bir dörtgenin 3 açısı vardır .q.0
olduğundan p.0ve q.0,p.q.0 .0.0
Şimdi kendini dene

Bileşik önermelerin gerçek değerini bul.
p.{[(1.0).1].} .{1.[(1.1).0]}
VEYA BA.LACI
p v q

p ve q önermeleri "VEYA " bağlacı ile bileşik önerme yapılabilir bu da p Vq ile gösterilir.
Ör: p: "Ben zekiyim"q: "Sen güçlüsün"
p V q:
"Ben zekiyim veya sen güçlüsün"
p ve p iki önerme olsun.bu önermelerden ikisi de yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğru olan bileşik önermeye "p veya q"bileşik önermesi denir ve p V q ile gösterilir.
Bu tanıma göre şu eşitlikleri yazabiliriz.
1. p V 0 .p2. p V 1 .1
3. pV~p .1
p
q
pVq

1
1
1

1
0
0

0
1
0

0
0
0

Metin Kutusu: Örnek
p: "Ahmet i.i yapar" ve q: "Ali i.i yapar." önermeleri veriliyor. p V q ne ifade eder?
Çözüm
p V q: "

Metin Kutusu: Örnek
p: "Terzi o i.i yapar,"
q: "Berber o i.i yapar,"
and let r: "A.çy o i.i yapar."
(p V q) ? (~r) bile.

Metin Kutusu: Örnek
p: "55, 5 e bölünebilir,"
q: "676, 11 e bölünebilir," and
r: "55, 11 e bölünebilir."
A.a.ydaki öner

Metin Kutusu:

De Morgan Kuralı

1.~(p V q) .~p .~q

2.~(p .q) .~ p V ~q
Metin Kutusu: Augsts De Morgan (1806-1871)

Aşağıdaki bileşik önermelerin değillerinialınız..

a)p .( ~qVr)
Çözüm:~[p .(~qV r)]..~pV(~q Vr)
.~p V(~(~q .r)
.~p V(q .~ r)
b)(~p V~q) .(p .~q)
Çözüm: ~[ (~p V~q) .(p .~q) ] .
.~ (~p V~q) V ~ (p .~q)
.(~ (~p ) .~ (~ q) V (~p V ~(~q))
.(p .q) V (~p V q)
Totoloji

Bütün degerleridoğru çıkan önermelere totolojidenir.
Çelişki

Bütün doğruluk değerleri yanlış olan önermelere çelişki denir.
Metin Kutusu: Örnek
p V (~p) ifadesinin totoloji oldu.unu gösteriniz.
Çözüm
Do.ruluk tablosuna baskarak görelim:
Metin Kutusu ne olursa olsunifadesi p den ba.ymsyz olarak her zaman do.ru çykar.Bundan dolayy

Metin Kutusu: Example
ifadesini totolojimidir.
Çözüm
Do.ruluk tablosunu yaparsak:
Metin Kutusu: Örnek
ifadesi çeli.ki midir?.
Çözüm
Tabloya bakynyz:
pV ~(~qV ~r) bileşik önermesi totolojiisep, q veryi bulunuz.
Eğer bu bileşik önerme totolojiise sonucu"1"dir.Buradan,
Metin Kutusu: pV ~(~qV~r) ?1
oldu.u için,
p?1 ve ~(~qV ~r) ?1
~(~q) V ~r ?1q V~r ?1


Şartlı Önerme

p ise q

p ve q iki önerme olsun.p doru q yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğru olan bileşik önermeye " p ise q " bileşik önermesi denir ve "p .q"ilegösterilir.
p
q
p .q

1
1
1

1
0
0

0
1
1

0
0
1

Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz.

a)4 <7 .9 <12

(1 .1) .1

b)23 = 8 .2 = 3

(1 .0) .0

c)[(1 .0 ).1].[(0 .0) .(1 .0)]
.[0 .1] .[1 .0]
.1 .0
.0
Aşağıdaki önermelerin tersini yazınız.

•A) a .b: "Bugün cuma ise yarın cumartesidir "

b .a: "Yarın Cumartesi ise bugün cumadır."

•B) c .d: "Hava kar yağışlı ise soğuktur"

d .c: "Hava soğuk ise kar yaışlıdır."
Şartlı Önermenin Tersi

Ayrylmy. ?q nun tersi ~p ? ~q dir.
Aşağıdaki şartlı önermelerin tersini alınız

•A) Eğer x=3 ise 2.x+5=11

x.3 ise 2.x+3.11

•B) Eğer 2<5 ise 5.2

Eğer 2.5 ise 5<2
Şartlı önermenin karşıt tersi

Ayrylmy.: p ? q nun kar.yt tersi ~q ? ~p dir.

Metin Kutusu: A.a.ydaki önermelerin kar.yt terslerini yazynyz.

Şartlı önermenin değili

Ayrylmy.: (p ? q)?~p Vq ~(p ? q) ?p ? ~q


İspat:

Ayrylmy.: Tabloda görüldü.ü gibi,
~(p? q)
? p ? ~q

Teorem:

1)p .p . 1

2)p .~p . ~p

3)0 .p . 1

4)p .0 . ~p

5)1 .p . p

6)p .1 . 1
ÖZELİK

1.p .q .~p V q

2.p .q .~q .~p

3.~(p .q) .p .q
İspat:

p
q
~p
~q
p.q
~pvq
~q.~p

1
1
0
0
1
1
1

1
0
0
1
0
0
0

0
1
1
0
1
1
1

0
0
1
1
1
1
1

Ancak ve Ancak
Bağlacı

p ancak ve ancak q

p ve q iki önerme olsun.
p ve q önermelerinin doğruluk değerleri aynı iken aynı, farklı iken yanlış olan önermeye
p ancak ve ancak q bileşik önermesi denir ve
p .q ile gösterilir.
p
q
p .q

1
1
1

1
0
0

0
1
0

0
0
1

Teorem:
p .q .(p .q) .(q .p)

p
q
p .q
p .q
q .p
(p.q) .(q.p)

1
1
1
1
1
1

1
0
0
0
1
0

0
1
0
1
0
0

0
0
1
1
1
1

Metin Kutusu: .imdi

Aşağıdaki soruları cevaplayınız
1. Hangisi bir önerme değildir?
A) Herkesin bir kız kardeşi vardır.
B) Bütün köpekler hayvandır.
C) Doğru parçasında en az iki nokta
vardır.
D) Sevgili öğrenciler.
E) Bazı insanlar zekidir.

Cevap
2.Eğer dört önermeniz varsa,
kaç tane doğruluk değeri vardır?
A) 4B) 8C) 16D) 32 E) 64

Cevap: C
3. p:"Eren çok çalışkandır" ve
q:"Esra basketbol oynayamaz"
önermeleri veriliyor.Aşağıdakilerden
hangisi "Eren tembel ve Esra basketbol
oynar"
bileşik önermesini ifade eder?
A)p’ V q’B)(p’ Vq) C)p .q’
D)p’ .q’ E) p’ .q’

Cevap
4.p .(p .q) ifadesine
aşağıdakilerden hangisi denktir?
A) p .(p V q)’B) p .q C) p V
q’ D)p’ .q’E)p .q’

Cevap:B
5.p .(q .p’) ifadesi hangisine
denktir?
A)P V(p V q)’B)p .q C)p’ V q’ q’
D) q’ .p E)p’ .q

Cevap:C
6.(p .q) V(p .q) ifadesi
hangisine denktir?
A)p .q B)pC)q D)0
E)1

Cevap:A
7. (p .q) .(p’ .q)aşağıdakilerden hangisine denktir?

a) (pVq)’
b) (p’ .q’)
c) (p .q)’
d) (p.q)
e) (p.q) .(p.q)

Metin Kutusu: Cevap: D


8. 3=5 .9=25şartlı önermesinin değilinedir?

a) (3.5) V (9.25)
b) (3.5)V (9=25)
c) (3=5) .(9.25)
d) (3=5) .(9=25)
e) (9=25)V (3=5)

Metin Kutusu: Cevap: C

Metin Kutusu:Answer: B
Metin Kutusu: 9. [p ? (q V r)]?0 denkli.i verildi.ine göre hangisi do.rudur?

10.[pV(q .r)] .[r (p .q)]ifadesi neye denktir?

a) 1
b) 0
c) pV q
d) q .r
e) r

Metin Kutusu:Cevap: A

Metin Kutusu: Cevap : A

12. q .(p.q)ifadesi hangisine denktir?

a)0
b)1
c)p
d)q
e)pVq

Metin Kutusu:Cevap: D

13. p’.(p .q)bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?

a)p
b)q
c)q’
d)Totoloji
e)Çelişki

Metin Kutusu:Cevap: D

14.(p .q)’.(p .q).?

a) Totoloji
b) p’ .q’
c) Çelişki
d)p.q
e)p’.q

Metin Kutusu: Cevap: D

15. Hangisi totolojidir?

a) p .(p’Vq)
b) p’ .(p .p’)
c) p’ .q
d)pVq
e)(p’Vp) .q

Metin Kutusu: Cevap: B

Metin Kutusu:a) r ?[(pVq) ?s]
b) (p ? q)’ ?(r’Vs)
c) (r’Vs)V(p ? q)
d) (pVq)’ ?(r’Vs)
e) (r ? s’)V(p’ ? q)

[Linkleri sadece kayıtlı üyelerimiz görebilir.ForumTR üyesi olmak için tıklayınız]
şifre:figo

SAYGILAR...