KRİSTAL YAPILAR

GİRİŞ:

Katıhal Fiziği maddenin iç yapısına ilişkin tüm karakteristik özellikleri x ışınları, nötronlar (radyoaktif parçacıklar), E.S.R (Elektron Spin Rezonans) gibi teknikler kullanılarak maddeyi inceleyen bir bilim dalıdır. Katıhal Fiziğinde genellikle maddenin kristal özellikleri göz önüne alınır. Kristaller ikiye ayrılır. Basit kristaller ve komplike kristaller. Bir çok kristaller de pozitif ve negatif yüklü iyonlardan oluşabilir. Basit kristallere örnek olarak kayatuzu (Na +Cl ) sodyum klorür verilebilir.
Yine bazı kristaller komşu atomlar arasında hafifçe üstüste binmiş olan ve aynı zamanda elektron bulutlarına sahip olan nötral atomlardan oluşmuştur. Kristaller arasındaki farklar onların, elektriksel, mekaniksel ve manyetik özelliklerinde farklarla yakından ilgilidir.

 KATILARIN YAPISI:
Katıhal Fiziğinin amacı yeryüzünde bulunan katıhaldaki maddeleri incelemektir. Katıların en önemli özelliği onların amorf (cam) ve kristal yapıda bulunmalarıdır.Bazı maddelerin (amorf katılar) yapıları düzensiz olup gelişi güzel yayılmışlardır.Katıların kristal yapısı ise maddeyi oluşturan atom yapıları o katıya özgü belli bir sıraya dizilerek oluşur.
Gerçekte kristal yapıya sahip bir katı tümüyle tek tip bir sıralanmadan ibaret değildir. Bu katıda atomik sıralamalardan oluşan küçük bölgecikler vardır. Küçük bir bakır telde bu bölgeciklerden milyonlarca vardır. Bu tür kristallere poli-kristaller denir. Eğer katı cisim bir katı cisim tümü ile aynı düzende ise veya tek bölgecikden oluşuyorsa mono-kristal denir. Doğadaki tek kristaller kuartz (SiO ) , kayatuzu (Na Cl), yakut (Al O + %0,05 Cr), elmas ( C ).
 UZAY ÖRGÜSÜ (LATTİCE):

Bir kristal yapıyı daha iyi inceleyebilmek için gerçekte atomların kendi dizilişleri değil de onların yerine kristallerin simetri özelliğini taşıyan noktalar dizisi göz önüne alınır. Yani her bir atom veya atom kümesi uzayda bir nokta ile temsil edilir. Bu şekilde meydana gelen noktalar kümesine “uzay örgüsü ” veya “Bravais Örgüsü” denir
Bir noktaya karşılık gelen atom veya atom gurubuna “Baz ” denir.







Şekil-1-
*Kristal = Örgü +Baz

-1-
Bir bazdaki atom sayısı birden bine kadar hatta yüz binlere kadar olur. Kristaldeki atomların periyodik olarak dizilmelerinden dolayı bir birim yapı veya birim hücre düşünmek gerekir. Bir birim hücrenin tekrarı ile tüm örgüyü elde etmek mümkündür. Buna göre vektörleri temel hücrenin birim vektörleri olmak üzere örgüdeki herhangi bir noktanın yeri
(-1-)

n , n , n tamsayılardır, herhangi bir örgü noktasının yer vektörüdür. Yani öteleme vektörü bizi bir örgü noktasından başka bir örgü noktasına götürür. ise öteleme vektörüdür.








Eğer koordinat başlangıcı herhangi bir nokta seçilebiliyorsa yi sıfır yapabiliriz. Böylece ;
= = (-2-)
 İLKEL VE BİRİM HÜCRE
Göz önüne alınan örgüdeki herhangi bir nokta (-2-) bağıntısını sağlıyorsa ile nin bitim noktalarına bakıldığında atomik düzenleri aynı ise , vektörleri ‘‘ilkel vektörler’’ dir. Bunların belirlediği yapıya da ‘ilkel hücre’ denir.ilkel hücrenin tekrarıyla kristali dolduran ve hacmi en küçük olan birim yapıdır . İlkel hücrenin yalnız köşelerinde örgü noktası bulunur. İlkel olmayan bir hücreyi birim hücre olarak seçmek daha yararlı olur .
*Her ilkel hücre bir birim hücredir.

 ÖRGÜ TÜRLERİ

A-) İKİ BOYUTTA ÖRGÜ TÜRLERİ:

Örgü öteleme vektörlerinin boyları veya aralarındaki açılarının değerinde bir kısıtlama olmadığı için olabilecek örgü türü sayısı sınırsızdır. Şekil –3- deki örgü her hangi iki vektör için çizilmiştir. Böyle genel bir örgüye eğik örgü adı verilir. Ve sadece ve 2 açıları kadar dönme simetrisi vardır.
Ancak eğik türden bazı özel örgülerin veya açılık dönme simetrisi veya ayna simetrisi olabilir. Bu yeni işlem altında değişemez kalan bir örgü kurmak istiyorsak vektörlerine kısıtlama getirmeliyiz. Başlıca dört kısıtlama vardır. Ve her biri özel bir örgü türüne yol açar.

–2-

Şekil –4- de gösterilen dört özel örgü türü ile eğik örgüyü de dahil edersek düzlemde beş farklı örgü türü oluşur. Genel olarak, tüm kısıtlamalar sonucu elde edilen örgü türüne Bravais Örgüler adı verilir. O hal de iki boyutta beş adet Bravais örgüsü vardır.


B)İKİ BOYUTTA ÖRGÜ TÜRLERİ

Üç boyutta noktasal simetri gurubu 14 farklı örgü türü gerekmektedir. Tablo-1- en genel örgü türü trikilinik olup 13 tana özel örgü bulunur. Hücre yapısı özelliğine göre ayrılmak istendiğinde triklinik , monoklinil , ortarombik, tetragonal, kübik, trigonal ve altıgen olmak üzere yedi farklı hücre türüne dayanan sistemler şeklinde gururlandırılır.
Tanım olarak ilkel hücre sadece bir örgü noktası içerir, fakat doğal bcc hücresi iki örgü noktası ve doğal fcc hücresi dört örgü noktası içerir.
-3-


@ Bravais Örgü Tablosu:
Kristal Eksen uzunlukları Eksenler arası açı Geometrik çizimler
kübik a=b=c =90


hegzagonal a =b c
=90



tetragonal a =b c
=90


Rrombohedral a=b=c 90

ortorombik a b c
=90

monoklinik a b c
=90



triklinik a b c





-4-



 DOĞRULTU DÜZLEM MİLLER İNDİSLERİ:
Doğrultular:
Kristal yapıda doğrunun doğrultusunu bulmak için bu doğruya paralel orijinden bir doğru çizilir. Bu doğru üzerinde bir noktanın koordinatlarından faydalanılır. Sözü edilen n0oktanın koordinatları; (U, V, W) ise [ U, V, W ] doğrultu indisleri olur.
( U, V, W) tam sayılar değilse U, V, W arasındaki oran korunarak bu sayılar en küçük tam sayılara çevrilir. Birbirine paralel doğruların indisleri aynıdır.
Negatif indisler sayının üzerine bir çizgi koyularak yazılır. [1 1 ] Bir eksi iki doğrultusu.
A ( ) U = ( ).n n : ortak çarpan (hepsini tam sayı yapan çarpan)
V = ( y ).n (- 3 -)
B ( )
W = ( z ).n

Miller İndisleri:
Miller indisleri birbirine paralel yüzeylerin sistematik olarak sınıflandırılması için kullanılır. Bu indisleri bulabilmek için önce göz önüne alınan kristal düzlemin eksenleri kestiği noktalar bulunur.
z

B



C y


A
x

şekil –5-
Şekildeki kristal ekseni kesen ABC düzlemine ait kesişme vektörlerin, tam katsayıları olarak katsayıları ifade eder.
Sonra bu koordinatların tersleri ( ) gösterilebilir. (h, k, l) ile gösterilen Miller İndisleri ( ) ile orantılı en küçük tam sayılardır.

h: k: l = (-4-)
-5-


 Birim Hücrede Oluşan Örgü Sayısı:

N = N (-5-)
N : Birim hücre içindeki örgü noktası sayısı
N : Birim hücre yüzeyinde örgü noktası sayısı
N : Birim hücre köşelerinde ki örgü nokta sayısı
 Doldurma Faktörü.
Birim hücrelerin kristal yapılarını doldurma oranıdır ve formül (-6-) ile bulunur.
Doldurma Faktörü = (-6-)
@  Kübik sistemde üç örgü bulunur:
Basit kübik( bc) örgü, cisim merkezli kübik( bcc) örgü ve yüzey merkezli kübik(fcc) örgü.

1) Basit örgü Yapı (bc)

En basit kristal yapıdır. Kenar uzunlukları birbirine eşit ve aralarındaki açılar 90 derecedir. Köşelerindeki atomlar sekiz kübik yapı tarafından paylaşıldığından ve kübik yapının sekiz köşesinde sekiz atom bulunduğundan dolayı formül (-5-) i göz önüne alarak = 1 örgü noktasına sahiptir deriz.
Doldurma faktörü = = = 0,524
Şekil-6-
Dikkat edersek burada toplam hacmi aldık bunun nedeni aşağıdaki şekilde açıkça gösterildiği gibi yapılar birbirine değen kürelerden oluşmuştur. Bundan dolayı birbirine komşu olan iki atomun yarı çapı toplamları şeklinde kenar uzunluklarını belirleriz
.


r r



şekil-7-
-6-


2 -) Cisim Merkezli Kübik Yapı (bcc)
Basit kübik bir yapı ve onun merkezin deki atomdan oluşmuştur.
Bcc yapının noktası örgü sayısı –5- denklemine göre ikidir.
İlkel vektörleri; üç komşu küpün merkezini O orijinin ile birleştiren vektörlerdir ve;
;
; bcc ilkel hücre (–7- )

bcc İlkel hücresinin hacmi V = = = =
a; kübik yapının kenar uzunluğu olmak üzere dir

Doldurma Faktörü =
D.F = = 0,68
2)Yüzey Merkezli Kübik Yapı( fcc)

Basit bir kübik yapı ve küpün yüzeylerindeki atomlardan oluşmuştur.
Örgü noktası sayısı -5- denkleminden
Birim hücresinin koordinatları, köşe atomlarından biri koordinat düzleminin merkezinde olmak üzere;
(x, y,z) (0, 0, 0); ( ; ( ); ( )
şekil –8-
; ; İlkel hücrenin koordinatları
-8-

fcc İlkel hücresinin hacmi:
V= = =
a; küpün kenar uzunluğu olmak üzere ve r atom yarı çapı olmak üzere a =


Doldurma Faktörü = = 0,74

@  GERÇEK KRİSTAL YAPILAR

1) Sodyum Klorür Yapısı ( NaCl ):
Şekil-9- da sodyum klorür (NaCl) kristal yapısı gösterilmiştir. Örgü yüzey merkezli kübiktir. Örgü noktası ise, aralarındaki uzaklık küpün cisim köşegenin yarısı kadar olan bir Na ve Cl atomundan oluşur. Her ilkel küpte dört NaCl birimi olup atomların konumları şöyledir:
Cl: 000
Na:

Şekil- 9-

Her atomun en yakın komşuları karşı cinsten altı atomdur. Doğada NaCl yapısında olan kristallerden bazıları aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Burada küpün a kenar uzunluğu angström ( ) cinsinden verilmiştir. 1 = 10 cm = 10 m = 0,1nm

Kristal a ( )
Kristal a ( )

LiH 4,08 AgBr 5,77
MgO 4,20 PbS 5,92
MnO 4,43 KCl 6,29
NaCl 5,63 KBr 6,59
Tablo 1
-9-
2)Sezyum Klorür Yapısı
Sezyum klorür yapısı Şekil –10- da gösterilmiştir. Burada ilkel hücre başına bir molekül olup, atomlar kübik örgünün 000 köşesi ve cisim köşegeni üzerindeki konumlu yerdedir. Her atom karşı cinsten atomların oluşturduğu bir küpün merkezindeymiş gibi görülebilir. Bu durumda, en yakın komşu sayısı sekizdir.

Kristal
a ( )
Kristal a ( )

BeCu 2,70 LiHg 3,29
AlNi 2,88 NH Cl
3,87
CuZn 2,94 TiBr 3,97
CuPd 2,99 CsCl 4,11
AgMg 3,28 TH 4,20



2) @ Sıkı Paket Altıgen Yapı (hcp)
Özdeş Küreleri uzayda yerleştirirken Paketlenme oranını maksimum kılmak için sınırsız sayıda yöntem vardır. (şekil 21). Bunlardan biri yüzey merkezli kübik yapı, diğeri ise sıkı paketli altıgen yapıdır. Her iki yapıda da toplam hacmin kullanılma oranı 0.74 dür.
Küreler önce bir düz düzlemde, her küre komşu altı küreye değecek şekilde sıkı paketlenmiş bir A tabakasına yerleştirilir. Bu tabaka hem hcp yapısının taban düzlemine ve hem de fcc yapısının (111) düzlemine karşılık gelir. İkinci bir B tabakası bunun üstüne ve alt tabakadaki üç küreye değecek şekilde yerleştirilir. Üçüncü C tabakası ise iki farklı şekilde konulabilir. Eğer üçüncü tabakanın küreleri, en alttaki tabakanın bıraktığı boşlukların üzerine ve B tabakasında boş bırakılan yerlere geliyorsa fcc yapısı elde ederiz. Tersine, üçüncü tabakanın küreleri birinci tabakadaki kürelerin tam üstüne gelecek şekilde yerleştirilirse hcp yapısı oluşur.
hcp yapısı altıgen örgünün ilkel hücresini oluşturur, ancak iki atomlu bir baza sahiptir. fcc ilkel hücresinin tek atomlu bir bazı vardır.
Kürelerin sıkı paketli altıgen yapısında c/a (veya a /a ) oranı, =1.633 dür. Gerçek bir kristalde bu teorik c/a oranı oluşmasa bile bu yapıya hcp denilmesi yaygındır.
Hcp ve fcc yapılarının ikisinde de en yaygın komşu sayısı 12 dir. Kristallerin atom başına bağlanma enerjisi (veya serbest enerjisi ) sadece en yakın komşu sayısına bağlı olsaydı, fcc ve hcp yapıları arsında bir enerji farkı bulunmazdı.


3) Elmas yapı
Elmasın uzay örgüsü fcc dir. Bu örgünün her noktasına bağlı ilkel bazda 000 ve konumlarında özdeş iki atom bulunur. O halde, ilkel küp sekiz atom içerir. Elmas yapısında tek atomlu bir baz oluşturacak şekilde ilkel hücre seçme olanağı yoktur.
Her atomun en yakın komşu sayısı 4, ikinci en yakın komşu sayısı 12 dir. Elmas yapısı dolayısıyla boş demektir, kürelerle doldurulabilen maksimum hacim oranı sadece 0,34 dür. Bu, hcp ve fcc gibi sıkı paketlenmiş yapıların doluluk faktörlerinin 0,46 sı demektir. Elmas yapısı elementlerin periyodik tablosunun IV sütunda karşılaşılan yönelmiş kovalent bağın bir örneğidir.
Karbon, silisyum germanyum ve kalay elmas yapısında kristalleşir ve örgü sabitleri sırasıyla a= 3,56; 5,43; 5,65 ve 6,46 dır. Burada a ilkel küpün kenar uzunluğudur.