DETERMİNANTLAR
7.1 Permütasyonlar
568 Tanım: S, n elemanlı, sonlu bir küme olsun. T: S S, birebir ve örten fonksiyonu, bir permütasyondur. S’ten S’e n1 tane permütasyonun olduğu kolayca görülür.
S’nin elemanlarının özel isimleri ile, S üzerinde T’yu kullanarak çalışacağımızdan, S={1,2,3,…,n} kümesini alacağız. Burada T ile;

T=
diyagramını göstereceğiz.

569. Tanım: Sn notosyonu, {1,2,3,…,n} üzerindeki bütün permütasyonların kümesini gösterecek. Bu notasyon altında, E permütasyonlarının birleşimi;


=
dir. K-katlı bileşkesi;


Not: Genellikle yerine basitçe yazılır. Bu “permütasyon çarpımı”, basit bir fonksiyon bileşkesidir.
bir permütasyon verilsin. , birebir ve örten olduğundan;
vardır ve bu da bir permütasyondur. Gerçekten eğer;

buradan;





Şekil 7.1. S3, dönüşler ve yansımalardır.

570. Örnek: S3 kümesi, 3! = 6 elemana sahiptir. Bu elemanlar,
1. Id :{1,2,3} {1,2,3} ; Id =
2.
3.
4.
5.
6.
olarak yazılır.

571. Örnek: ve birleşimleri;


(sağdan sola; 1 2 3 (1,2’ye; 2,3’e; böylece 1’3’e gider.)
Benzer şekilde;


olarak bulunabilir. olduğu görülüyor. Diğer bütün çarpımları bularak “Çarpım Tablosu” ortaya çıkarılır. (Buradan, “çarpım” işlemi, gerçekte, fonksiyonların bileşkesidir.)

o Id






Id Id







Id







Id







Id







Id







Id

dır.
Örnek 570’de permütasyonlar, aşağıdaki gibi çevrilebilir. Şekil.7.1’deki gibi; 1, 2, 3 dikey olarak sınıflandırılarak bir eşkenar üçgen oluşturulur.
Her bir , a’nın ters tarafının orta noktası ile doğrunun tepe noktanın bir simetriğidir.
Örneğin, , 1 ve dönem 2 ve 3 olarak belirlenir. İki birbirini izleyen döngü, onların orijinal pozisyonlarına göre dikey döner ve böylece, ( olur. Benzer şekilde, , 120o bir açı ile dikey döner. Birbirini izleyen döngüler oluşturur ve böylece olur.