LOGARİTMA a ve y gerçek sayılar olmak üzere; ax = y eşitliğini sağlayan x sayısına y sayısının a tabanına göre logaritması denir ve x = logay şeklinde gösterilir. LOGARİTMANIN GENEL ÖZELLİKLERİ : Üstel Sayıların Logaritması : m sayısının n nci merteden üssünün logaritması m sayısının logaritmasının n ile çarpımına eşit olup şeklinde gösterilir. Bu eşitliğin doğruluğunu aşağıdaki gibi gösterebiliriz. ifadesinin her iki tarafının a tabanına göre logaritması; olacağından ve ayrıca; yazılır ve logaritması alınırsa; elde edilir. Yukarıdaki x değeri yerine konulursa; elde edilir. Çarpımın Logaritması : m ve n sayılarının çarpımının logaritması bu sayılarının logaritmaları toplamına eşittir. Bunun doğruluğunu aşağıdaki gibi gösterebiliriz. her iki eşitliğinin de a tabanına göre logaritması alınırsa yazılır. Ayrıca eşitliğin her iki tarafının a ya göre logaritması alınırsa x ve y değerleri yerine konulursa; elde edilir. Bölümün Logaritması : m ve n sayılarının çarpımının logaritması bu sayılarının logaritmaları faarkına eşittir. Bunun doğruluğunu aşağıdaki gibi gösterebiliriz. her iki eşitliğinin de a tabanına göre logaritması alınırsa yazılır. Ayrıca eşitliğin her iki tarafının a ya göre logaritması alınırsa x ve y değerleri yerine konulursa; elde edilir. Değişik Tabanlı Logaritma : Bir m sayısının b tabanına göre logaritması bilinirse a tabanına göre logaritmasının nasıl hesaplanacağını görelim. ise; yazılabilir. Bu eşitliğin her iki tarafının b tabanına göre logaritması alınırsa ve bağıntısı elde edilebilir. x değeri yukarıdaki eşitlikte yerine konursa bağıntısı elde edilebilir (Örnek 1, 2, 3 ). Örnek : sayısının değerini logaritma kurallarından yararlanarak hesaplayınız. Çözüm : Örnek : Bir çözeltinin asitliği pH ölçüsü ile ortamdaki hidrojen iyonlarının konsantrasyonuna bağlı olarak şeklinde ifade edilir. Saf suyun 25.0 oC deki pH değeri ise 7.0 dir. HCl %100 iyonlaştığını düşünerek, 100 mL suya 0.1, 0.2, 1.0, 2.0, 10.0 ve 20.0 mL 0.1 M lık HCl çözeltisinden ilave edilmesi çözeltideki H+ konsantrasyonunun ve pH nasıl değiştiğini hesaplayarak çözelti hacmine karşı grafiklerini çiziniz. Çözüm : Asidin başlangıç konsantrasyonu ve hacmi ise, kadar asit ilave edildiğinde yeni konsantrasyonu ; eşitliğinden hesaplanabilir. KOLOGORİTMA: Tanım: Pozitif bir x sayısının çarpma işlemine göre tersinin logaritmasına ilgili sayının kologoritması denir ve cologx ile gösterilir. Cologx = log1/x = -logx Örnek: Aşağıdaki ifadeyi logaritma özelliklerinden yaralanarak hesaplayınız? Log162 Çozüm: log162 = log242 = ¼ log22 =1/4 LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TERS FONKSİYONU: Logaritma fonksiyonu bire bir ve örten olduğundan tersi vardır. f(x) = logax f –1(x) = ax dir. alogaa = b a,bR+ ve a  1 3log55 = 5’dir LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ: Logaritma fonksiyonu x, aR+ ve a  1 olmak üzere f :R+  R, f(x) =y = logax dır. 1) b,cR+ iki sayı, aR+ ve a  1 için loga(b.c) = logab + logac dir. Sonuçlar: a) loga(b.c.d...k)=logab+logac +...+ logak’dir b) logabn = nlogab c) logaq bn = logp/q =p/qlogab dir 2)b,c,aR+; a  1 için loga/b = logab – logac dir. SONUÇ: loga 1/a = - log ab dır. 3) aR+ ve a  1 olmak üzere logaa =1, loga1 = 0 4) a>1 ise logaritma fonksiyonu artan fonksiyondur. x1,x2R+ için x1  x2 logax1logax2 dir. 5)0